2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题一 4 第4讲 专题强化训练 Word版含解析.pdf
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1、1(2018高考全国卷)已知函数 f(x) x3a(x2x1) 1 3 (1)若 a3,求 f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点 解:(1)当 a3 时,f(x) x33x23x3,f(x)x26x3. 1 3 令 f(x)0 解得 x32或 x32.33 当 x(,32)(32,)时,f(x)0;33 当 x(32,32)时,f(x)0,所以 f(x)0 等价于3a0. x3 x2x1 设 g(x)3a,则 g(x)0,仅当 x0 时 g(x)0,所以 g(x) x3 x2x1 x2 (x 22x3) (x 2x1)2 在(,)单调递增 故 g(x)至多有一个零点, 从而
2、f(x)至多有一个零点 又 f(3a1)6a22a 6 0, 1 3 故 f(x)有一个零点 综上,f(x)只有一个零点 2(2018唐山模拟)已知 f(x) x2a2ln x,a0. 1 2 (1)若 f(x)0,求 a 的取值范围; (2)若 f(x1)f(x2),且 x1x2,证明:x1x22a. 解:(1)由题意知,f(x)x. a2 x (xa)(xa) x 当 x(0,a)时,f(x)0,f(x)单调递增 当 xa 时,f(x)取得最小值 f(a) a2a2ln a. 1 2 令 a2a2ln a0,解得 0a. 要证 x1x22a 即 x22ax1,则只需证 f(x2)f(2ax
3、1) 因 f(x1)f(x2),则只需证 f(x1)f(2ax1) 设 g(x)f(x)f(2ax),0g(a)0. 又由题意得 00,即 f(x1)f(2ax1) 因此 x1x22a. 3(2018石家庄质量检测(二)已知函数 f(x)xaxln x(aR) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)xaxln x 存在极大值,且极大值点为 1,证明:f(x)exx2. 解:(1)由题意 x0,f(x)1aaln x. 当 a0 时,f(x)x,函数 f(x)在(0,)上单调递增; 当 a0 时,函数 f(x)1aaln x 单调递增,f(x)1aaln x0xe10, 1
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