2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题五1第1讲直线与圆学案.pdf
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1、第 1 讲 直线与圆第 1 讲 直线与圆 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷 圆的方程、直线与圆的位置关 系T19(2)2018 卷直线与圆的位置关系T6 卷 圆的性质、点到直线的距离、双 曲线的几何性质T15 卷 圆的弦长问题、双曲线的几何性 质T9 直线与圆的位置关系、点到直线 的距离、椭圆的离心率T10 2017 卷 直线与圆的方程、直线与抛物线 的位置关系T20 卷 圆的方程、点到直线的距离应 用T42016 卷直线与圆的位置关系T16 1.近两年圆的方程成为高 考全国课标卷命题的热点, 需重点关注此类试题难度 中等偏下,多以选择题或填 空题形式考查 2直线与圆的方程偶尔单 独命题
2、,单独命题时有一定 的深度,有时也会出现在压 轴题的位置,难度较大,对 直线与圆的方程(特别是直 线)的考查主要体现在圆锥 曲线的综合问题上. 直线的方程(基础型) 两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1l2k1k2,l1l2k1k21. 若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在 2 个距离公式 (1)两平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20 间的距离d. |C1C2| A2B2 (2)点(x0,y0)到直线l:AxByC0 的距离公式d. |Ax0By0C| A2B2 考法全练 1若平面内三点A(1,a),B(2,a2),C
3、(3,a3)共线,则a( ) A1或 0B.或 02 2 5 2 C.D.或 0 2 5 2 2 5 2 解析 : 选 A.因为平面内三点A(1, a),B(2,a2),C(3,a3)共线, 所以kABkAC, 即 a2a 21 ,即a(a22a1)0,解得a0 或a1.故选 A. a3a 31 2 2若直线mx2ym0 与直线 3mx(m1)y70 平行,则m的值为( ) A7B0 或 7 C0D4 解析 : 选 B.因为直线mx2ym0 与直线 3mx(m1)y70 平行,所以m(m1) 3m2,所以m0 或 7,经检验,都符合题意故选 B. 3两条平行线l1,l2分别过点P(1,2),Q
4、(2,3),它们分别绕P,Q旋转,但始 终保持平行,则l1,l2之间距离的取值范围是( ) A(5,)B(0,5 C(,)D(0,3434 解析 : 选 D.当直线PQ与平行线l1,l2垂直时,|PQ|为平行线l1,l2间的距离的最大值, 为, 所以l1,l2之间距离的取值范围是(0, 故选 D.(12)22(3)23434 4已知点A(1,2),B(2,11),若直线yx1(m0)与线段AB相交,则实数m (m 6 m) 的取值范围是( ) A2,0)3,)B(,1(0,6 C2,13,6D2,0)(0,6 解析:选 C.由题意得,两点A(1,2),B(2,11)分布在直线yx1(m0)的两
5、 (m 6 m) 侧(或其中一点在直线上),所以0,解得2m1 或 (m 6 m21)2(m 6 m)111 3m6,故选 C. 5(一题多解)已知直线l:xy10,l1:2xy20.若直线l2与l1关于直线l 对称,则直线l2的方程是_ 解析 : 法一 :l1与l2关于l对称, 则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上, 故l与l1 的交点(1,0)在l2上 又易知(0,2)为l1上的一点,设其关于l的对称点为(x,y),则 ,解得 x 2 y2 2 10, y2 x 11) x1, y1.) 即(1,0),(1,1)为l2上两点,故可得l2的方程为x2y10. 法二:设l2上任一点为(x,
6、y),其关于l的对称点为(x1,y1),则由对称性可知 xx1 2 yy 1 2 10, yy1 xx1 11,) 解得x 1y1, y1x1.) 因为(x1,y1)在l1上, 所以 2(y1)(x1)20,即l2的方程为x2y10. 答案:x2y10 圆的方程(综合型) 圆的 3 种方程 (1)圆的标准方程:(xa)2(yb)2r2. (2)圆的一般方程:x2y2DxEyF0(D2E24F0) (3)圆的直径式方程:(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的两端点是A(x1, y1),B(x2,y2) 典型例题 在平面直角坐标系xOy中,曲线:yx2mx2m(mR R)与x轴交于
7、不同的两 点A,B,曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理 由 (2)求证:过A,B,C三点的圆过定点 【解】 由曲线:yx2mx2m(mR R),令y0,得x2mx2m0. 设A(x1,0),B(x2,0),则可得m28m0,x1x2m,x1x22m. 令x0,得y2m,即C(0,2m) (1)若存在以AB为直径的圆过点C,则0,得x1x24m20,AC BC 即 2m4m20,所以m0 或m . 1 2 由0 得m8,所以m , 1 2 此时C(0,1),AB的中点M即圆心,半径r|CM|, ( 1 4,0) 17 4 故所求
8、圆的方程为y2. (x 1 4) 2 17 16 (2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2y2mxEy2m0, 将点C(0,2m)代入可得E12m, 所以过A,B,C三点的圆的方程为x2y2mx(12m)y2m0, 整理得x2y2ym(x2y2)0. 令可得或 x2y2y0, x2y20,) x0, y1) x2 5, y4 5,) 故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和. ( 2 5, 4 5) 求圆的方程的两种方法 (1)直接法 : 利用圆的性质、 直线与圆、 圆与圆的位置关系, 数形结合直接求出圆心坐标、 半径,进而求出圆的方程 (2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满足
9、的方程(组)求得各系数,进 而求出圆的方程 对点训练 1圆(x1)2(y2)21 关于直线yx对称的圆的方程为 ( ) A(x2)2(y1)21 B(x1)2(y2)21 C(x2)2(y1)21 D(x1)2(y2)21 解析 : 选 A.由题意知圆心的坐标为(1, 2) 易知(1, 2)关于直线yx对称的点为(2, 1), 所以圆(x1)2(y2)21 关于直线yx对称的圆的方程为(x2)2(y1)21, 故选 A. 2已知ABC三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(0,),C(2,),则ABC外接圆33 的圆心到原点的距离为( ) A.B. 5 3 21 3 C.D. 2 5 3 4 3
10、 解析:选 B.设外接圆圆心为P.因为ABC外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线上,即 直线x1 上,可设圆心P(1,p),由PAPB得|p|,解得p,所以1(p 3)2 2 3 3 圆心坐标为P,所以圆心到原点的距离|OP|.故选 B. (1, 2 3 3) 1( 2 3 3) 2 112 9 21 3 3经过原点且与直线xy20 相切于点(2,0)的圆的标准方程是( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 解析 : 选 A.设圆心的坐标为(a,b),则a2b2r2,(a2)2b2r2,1, b a2 联立解得a1,b1,r2
11、2.故所求圆的标准方程是(x1)2(y1)22.故选 A. 直线与圆、圆与圆的位置关系(综合型) 直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法:把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:dr相交;dr相 切;dr相离 (2)代数法 : 将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式来讨论位置 关系:0相交;0相切;0相离 圆与圆的位置关系的判定 (1)dr1r2两圆外离 (2)dr1r2两圆外切 (3)|r1r2|dr1r2两圆相交 (4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切 (5)0d|r1r2|(r1r2)两圆内含 典型例题 命题角度一 圆的切线问题 (2018永州模拟)自圆C:(x3)2
12、(y4)24 外一点P(x,y)引该圆的一条切 线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为( ) A8x6y210B8x6y210 C6x8y210D6x8y210 【解析】 由题意得,圆心C的坐标为(3,4),半径r2,如图 因为|PQ|PO|,且PQCQ, 所以|PO|2r2|PC|2, 所以x2y24(x3)2(y4)2, 即 6x8y210,所以点P的轨迹方程为 6x8y210,故选 D. 【答案】 D 过一点求圆的切线方程的方法 (1)过圆上一点(x0,y0)的圆的切线的方程的求法 若切线斜率存在,则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k0),由垂直关系知切线
13、 斜率为 , 由点斜式方程可求切线方程 若切线斜率不存在, 则可由图形写出切线方程xx0. 1 k (2)过圆外一点(x0,y0)的圆的切线的方程的求法 当切线斜率存在时, 设切线斜率为k, 切线方程为yy0k(xx0), 即kxyy0kx0 0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切线方程当切线斜率不存在时要加以验证 命题角度二 直线与圆相交问题 在平面直角坐标系xOy中, 已知圆C与y轴相切, 且过点M(1,),N(1, 33 ) (1)求圆C的方程; (2)已知直线l与圆C交于A,B两点,且直线OA与直线OB的斜率之积为2.求证 : 直 线l恒过定点,并求出定点的坐标 【解】 (1)因为
14、圆C过点M(1,),N(1,),33 所以圆心C在线段MN的垂直平分线上,即在x轴上, 故设圆心为C(a,0),易知a0, 又圆C与y轴相切, 所以圆C的半径ra, 所以圆C的方程为(xa)2y2a2. 因为点M(1,)在圆C上,3 所以(1a)2()2a2,解得a2.3 所以圆C的方程为(x2)2y24. (2)记直线OA的斜率为k(k0), 则其方程为ykx. 联立,得消去y,得(k21)x24x0, (x2)2y24, ykx,) 解得x10,x2. 4 k21 所以A. ( 4 k21, 4k k21) 由kkOB2,得kOB ,直线OB的方程为yx, 2 k 2 k 在点A的坐标中用
15、 代换k,得B. 2 k( 4k2 k24, 8k k24) 当直线l的斜率不存在时,得k22,此时直线l的方程为x . 4 k21 4k2 k24 4 3 当直线l的斜率存在时,即k22. 4 k21 4k2 k24 则直线l的斜率为 4k k21 8k k24 4 k21 4k2 k24 . 4k(k24)8k(k21) 4(k24)4k2(k21) 3k(k22) 4k4 3k 2k2 故直线l的方程为y. 4k k21 3k 2k2(x 4 k21) 即y,所以直线l过定点. 3k 2k2(x 4 3)( 4 3,0) 综上,直线l恒过定点,定点坐标为. ( 4 3,0) 直线与圆相交
16、问题的求法 (1)弦长的求解方法 根据半径,弦心距,弦长构成的直角三角形,构成三者间的关系R2d2(其中l l2 4 为弦长,R为圆的半径,d为圆心到直线的距离) 根据公式l|x1x2|求解(其中l为弦长,x1,x2为直线与圆相交所得交点的1k2 横坐标,k为直线的斜率) 求出交点坐标,用两点间距离公式求解 (2)定点、定值问题的求解步骤 设:设出直线方程,并代入圆的方程整理成关于x(或y)的一元二次方程 列:用参数表示出需要证明的直线或者几何式子 解:判断直线是否过定点或对表示出的代数式进行化简求解 对点训练 1(2018黄山模拟)已知圆O:x2y21,点P为直线 1 上一动点,过点P向 x
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- 2019 高考 数学 二轮 复习 第二 部分 突破 热点 分层 教学 专项 专题 直线 圆学案
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