2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题五2第2讲椭圆双曲线抛物线学案.pdf
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1、第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷 直线与抛物线的位置关系T8 双曲线的 几何性质T11 卷 双曲线的几何性质T5 椭圆的几何性 质T12 2018 卷 双曲线的几何性质T11 直线与抛物线的 位置关系T16 直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基 本不等式的应用T10卷 双曲线的几何性质T15 卷双曲线的几何性质T9 2017 卷双曲线的渐近线及标准方程T5 双曲线的几何性质与标准方程T5 卷 抛物线与圆的综合问题T10 卷双曲线的定义、离心率问题T112016 卷 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心 率T11 1.圆锥曲线的
2、定义、 方程与性质是每年高 考必考的内容以选 择、填空题的形式考 查, 常出现在第 411 题或 1516 题的位 置,着重考查圆锥曲 线的标准方程与几何 性质,难度中等 2 圆锥曲线的综合问 题多以解答题的形式 考查,常作为压轴题 出现在第 20 题的位 置,一般难度较大. 圆锥曲线的定义与标准方程(综合型) 圆锥曲线的定义、标准方程 名称椭圆双曲线抛物线 定 义 |PF1|PF2| 2a(2a |F1F2|) |PF1|PF2| 2a(2ab0) 1 x2 a2 y2 b2 (a0,b0) y22px (p0) 典型例题 (1)椭圆1 的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点M,N,当FMN的
3、周 x2 5 y2 4 长最大时,FMN的面积是( ) A. B. 5 5 6 5 5 C.D. 8 5 5 4 5 5 (2)设F1,F2分别是双曲线C:1(a0,b0)的左、 右焦点,P是C上一点, 若|PF1| x2 a2 y2 b2 |PF2|6a,且PF1F2最小内角的大小为 30,则双曲线C的渐近线方程是( ) A.xy0Bxy022 Cx2y0D2xy0 【解析】 (1)如图,设椭圆的右焦点为F,连接MF,NF . 因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|,所 以当直线xm过椭圆的右焦点时,FMN的周长最大 此时|MN|,又c1,所以此时FMN 2b2 a 8 5 5 a
4、2b254 的面积S 2.故选 C. 1 2 8 5 5 8 5 5 (2)不妨设P为双曲线C右支上一点,由双曲线的定义,可得|PF1|PF2|2a. 又|PF1|PF2|6a,解得|PF1|4a,|PF2|2a,又|F1F2|2c,则|PF2|2a最小, 所以PF1F230. 在PF1F2中, 由余弦定理, 可得 cos 30 |PF1|2|F1F2|2|PF2|2 2|PF1|F1F2| 16a24c24a2 2 4a 2c ,整理得c23a22ac,解得ca,所以b a. 3 2 33c2a22 所以双曲线C的渐近线方程为yx.故选 A.2 【答案】 (1)C (2)A (1)椭圆的焦点
5、三角形的几个性质 已知椭圆方程为1(ab0),左、右焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2 x2 a2 y2 b2 中F1PF2,则SF1PF2b2tan . 2 已知椭圆方程为1(ab0),左、右焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2, x2 a2 y2 b2 若F1PF2最大,则点P为椭圆短轴的端点 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短,通径长为. 2b2 a (2)双曲线的焦点三角形的几个性质 若双曲线方程为1(a0,b0),F1,F2分别为它的左、右焦点,P为双曲线上任 x2 a2 y2 b2 意一点(除实轴顶点外),则双曲线的焦点三角形有如下性质: 设F1PF2
6、,则SF1PF2.特别地,当F1PF290时,有SF1PF2b2. b2 tan 2 双曲线的焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点当点P在双曲线左支上时, 切点为左顶点,当点P在双曲线右支上时,切点为右顶点 对点训练 1(2018辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C: x2 a2 y2 b2 1(a0,b0)的离心率为,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若AFO的5 面积为 1,则双曲线C的方程为( ) A.1B.y21 x2 2 y2 8 x2 4 C.1Dx21 x2 4 y2 16 y2 4 解析:选 D.因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA
7、|b,|OA|a,所以ab2, 又双曲线C的离心率为, 所以 , 即b24a2, 解得a21,b24, 所以双曲线C51b 2 a2 5 的方程为x21,故选 D. y2 4 2(2018福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y22px(p0)的焦点为F, 准线为l.过F的直线交C于A,B两点,交l于点E,直线AO交l于点D.若|BE|2|BF|, 且|AF|3,则|BD|( ) A1B3 C3 或 9D1 或 9 解析:选 D.分别过点A,B作AA1,BB1垂直于l, 且垂足分别为A1,B1, 依题意,易证BDx轴, 所以D与B1重合 由已知条件|BE|2|BF|得,|BE|2|BB
8、1|, 所以BEB130.又|AA1|AF|3, 如图 1, |BD| |AA1| |BE| |AE| 所以, |BD| 3 2|BD| 3|BD|3 解得|BD|1, 如图 2, |BD| |AA1| |BE| |AE| 所以, |BD| 3 2|BD| |BD|3 解得|BD|9. 综上,|BD|为 1 或 9,故选 D. 圆锥曲线的几何性质(综合型) 椭圆、双曲线中,a,b,c及e之间的关系 (1)在椭圆中:a2b2c2,离心率为e . c a 1(b a) 2 (2)在双曲线中:c2a2b2,离心率为e . c a 1(b a) 2 双曲线1(a0,b0)的渐近线方程为yx.注意离心率
9、e与渐近线的斜率 x2 a2 y2 b2 b a 的关系 典型例题 (1)(2018石家庄质量检测(二)倾斜角为的直线经过椭圆1(ab0)的 4 x2 a2 y2 b2 右焦点F,与椭圆交于A、B两点,且2,则该椭圆的离心率为( )AF FB A. B. 3 2 2 3 C.D. 2 2 3 3 (2)(2018高考全国卷)已知双曲线C:y21,O为坐标原点,F为C的右焦点, x2 3 过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|( ) A.B3 3 2 C2D43 【解析】 (1)由题可知,直线的方程为yxc,与椭圆方程联立得,所 x2 a2 y2 b21
10、yxc) 以(b2a2)y22b2cyb40,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则,又2,所以(cx1,y1)2(x2c,y2), y1y22b 2c a2b2 y1y2 b4 a2b2 ) AF FB 所以y12y2,可得,所以 ,所以e,故选 B. y22b 2c a2b2 2y b4 a2b2) 1 2 4c2 a2b2 2 3 (2)因为双曲线y21 的渐近线方程为yx,所以MON60.不妨设过点F x2 3 3 3 的直线与直线yx交于点M,由OMN为直角三角形,不妨设OMN90,则MFO60 3 3 ,又直线MN过点F(2,0)
11、,所以直线MN的方程为y(x2),3 由得 y 3(x2), y 3 3 x, ) x3 2, y 3 2 ,) 所以M,所以|OM|,所以|MN|OM|3,故选 B. ( 3 2, 3 2) ( 3 2) 2 ( 3 2) 2 33 【答案】 (1)B (2)B (1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关 系或不等关系,然后把b用a,c代换,求 的值 c a (2)双曲线的渐近线的求法及用法 求法:把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零,分解因式可得 用法:(i)可得 或 的值 b a a b (ii)利用渐近线
12、方程设所求双曲线的方程 对点训练 1(2018福州四校联考)过双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别作双曲线的 x2 a2 y2 b2 两条渐近线的平行线,若这 4 条直线所围成的四边形的周长为 8b,则该双曲线的渐近线方 程为( ) AyxByx2 CyxDy2x3 解析:选 A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形,因为该四边形的周长为 8b,所以菱 形的边长为 2b,由勾股定理得 4 条直线与y轴的交点到x轴的距离为,4b2c23b2a2 又 4 条直线分别与两条渐近线平行,所以 ,解得ab,所以该双曲线的渐近线 b a 3b2a2 a2b2 的斜率为1,所以该双曲线的渐近线方程为yx,故选
13、 A. 2(2018广州综合测试(一)如图,在梯形ABCD中,已知|AB|2|CD|,双AE 2 5AC 曲线过C,D,E三点,且以A,B为焦点,则双曲线的离心率为( ) A.B272 C3D. 10 解析 : 选A.取AB的中点O为坐标原点,的方向为x轴正方向, 建立直角坐标系(图略),AB 设双曲线的方程为1(a0,b0), |AB|2|CD|2c,E(xE,yE), 则A(c, 0),B(c, 0),C x2 a2 y2 b2 ,D,由1,得yC ,故C.因为(xEc,yE), ( c 2,y C) (c 2,y C) c2 4 a2 y b2 b 2a b23a2 ( c 2, b 2
14、a b23a2)AE , 2 5AC 2 5( 3c 2 , b 2a b23a2) (3c 5 , b 5a b23a2)AE 2 5AC 所以 xE2 5c, yE b 5a b23a2.) 又E在双曲线上, 故1, 化简整理得 4c2b23a225a2, 即c2 4c2 25 a2 b2 25a2(b 23a2) b2 7a2,故 .选 A. c a 7 3 (2018高考全国卷)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的左、 右焦点,A是C x2 a2 y2 b2 的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120,则C 3 6 的离心率为( ) A.B. 2
15、3 1 2 C.D. 1 3 1 4 解析:选 D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图所示,设 |F1F2|2c,因为PF1F2为等腰三角形,且F1F2P120,所以 |PF2|F1F2|2c,所以|OF2|c,所以点P坐标为(c2ccos 60, 2csin 60),即点P(2c,c)因为点P在过点A,且斜率为的直线上,所3 3 6 以,解得 ,所以e ,故选 D. 3c 2ca 3 6 c a 1 4 1 4 直线与圆锥曲线的位置关系(综合型) 求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利 用消元后的一元二次方程的
16、判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程组并消元转化为一元方程,此 时注意观察方程的二次项系数是否为 0,若为 0,则方程为一次方程;若不为 0,则将方程 解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解 典型例题 命题角度一 位置关系的判断及应用 已知抛物线C1:y22px(p0)的焦点为椭圆C2:1(ab0)的右焦点,且 x2 a2 y2 b2 两曲线有公共点. ( 2 3, 2 6 3) (1)求抛物线C1与椭圆C2的方程; (2)若椭圆C2的一条切线l与抛物线C1交于A,B两点,O为坐标原点,且OAOB,求 直线l的方程
17、 【解】 (1)将代入抛物线方程,得 2p,解得 2p4,则抛物线C1 ( 2 3, 2 6 3)( 2 6 3) 2 2 3 的方程为y24x,则焦点为F(1,0),即c1, 所以a2b21. 将代入1, 得1, 解得b23(增根舍去), 则a24, ( 2 3, 2 6 3) x2 b21 y2 b2 4 9(b21) 8 3b2 所以椭圆C2的方程为1. x2 4 y2 3 (2)当直线l的斜率不存在时,不符合题意,所以直线l的斜率存在设直线AB的方程 为ykxb,显然k0,b0,A(x1,y1),B(x2,y2) 由整理得k2x2(2kb4)xb20, ykxb, y24x) 所以x1
18、x2,x1x2, 2kb4 k2 b2 k2 所以y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2, 4b k 由OAOB,得0,即x1x2y1y20,即0,整理得b4k0.OA OB b2 k2 4b k 由整理得(34k2)x28kbx4b2120, ykxb, x2 4 y 2 3 1 ) (8kb)24(34k2)(4b212)0,即b234k2. 由解得k , 1 2 则或 k1 2, b2 ) k1 2, b2,) 所以直线l的方程为x2y40 或x2y40. 直线与圆锥曲线相切,如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行, 那么当直线与圆锥曲线只有一个
19、公共点时, 只要把直线方程、 圆锥曲线方程联立消元得到关 于一个变量的一元二次方程,使其判别式等于零即可 命题角度二 弦长问题 (2018唐山模拟)在直角坐标系xOy中, 长为1 的线段的两端点C,D分别在x2 轴、y轴上滑动,.记点P的轨迹为曲线E.CP 2PD (1)求曲线E的方程; (2)经过点(0, 1)作直线与曲线E相交于A,B两点, 当点M在曲线E上时,OM OA OB 求四边形AOBM的面积 【解】 (1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y) 由,得(xm,y)(x,ny)CP 2PD 2 所以 xm 2x, y 2(ny),) 得 m( 21)x, n 21 2 y, )
20、 由|1,得m2n2(1)2,CD 22 所以(1)2x2y2(1)2,2 ( 21)2 2 2 整理,得曲线E的方程为x21. y2 2 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由,OM OA OB 知点M坐标为(x1x2,y1y2) 由题意知,直线AB的斜率存在 设直线AB的方程为ykx1,代入曲线E的方程,得 (k22)x22kx10, 则x1x2,x1x2. 2k k22 1 k22 y1y2k(x1x2)2. 4 k22 由点M在曲线E上,知(x1x2)21, (y1y2)2 2 即1,解得k22. 4k2 (k22)2 8 (k22)2 这时|AB|x1x2|,1k23(x1
21、x2)24x1x2 3 2 2 原点到直线AB的距离d, 1 1k2 3 3 所以平行四边形OAMB的面积S|AB|d. 6 2 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 (1)涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长;涉及过焦点 的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解 (2)弦长计算公式 : 直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB| ,其中k为弦AB所在直线的斜率 1k2(x1x2)24x1x2 命题角度三 定比、分点问题 (1)(2018南宁模拟)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x x2 a2 y2 b2 y50,弦的中点坐标是M
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