2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题五3第3讲圆锥曲线的综合问题学案.pdf
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1、第 3 讲 圆锥曲线的综合问题第 3 讲 圆锥曲线的综合问题 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷直线与椭圆的位置关系T19 卷直线与抛物线的位置关系、弦长问题T19 2018 卷 直线与椭圆的位置关系、 向量的线性运算、 证明问题T20 卷 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关 系T20 卷 点的轨迹方程、椭圆与向量的数量积的综 合问题T20 2017 卷 直线与抛物线的位置关系、直线的方程、 圆的方程T20 卷 定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆的 位置关系及范围问题T20 卷 直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围 问题T20 2016 卷 证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位 置关系T2
2、0 解析几何是数形结合 的典范,是高中数学 的主要知识板块,是 高考考查的重点知识 之一,在解答题中一 般会综合考查直线、 圆、圆锥曲线等试 题难度较大,多以压 轴题出现 解答题的热点题型有: (1)直线与圆锥曲线 的位置关系 (2)圆锥曲线中定点、 定值、最值及范围的 求解 (3)轨迹方程及探索 性问题的求解. 定点问题(综合型) 典型例题 已知椭圆1(ab0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成 x2 a2 y2 b2 等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不 重合且满足1,2.PM MQ PN NQ (1)求椭圆的标准方程; (2)若
3、123,试证明:直线l过定点并求此定点 【解】 (1)设椭圆的焦距为 2c,由题意知b1, 且(2a)2(2b)22(2c)2, 又a2b2c2,所以a23. 所以椭圆的方程为y21. x2 3 (2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2), 直线l的方程为xt(ym), 由1,知(x1,y1m)1(x0x1,y1),PM MQ 所以y1my11,由题意y10, 所以11. m y1 同理由2知21.PN NQ m y2 因为123,所以113, m y1 m y2 所以y1y2m(y1y2)0, 联立 x23y23, xt(ym),) 得(t23)y22mt
4、2yt2m230, 所以由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0, 且有y1y2,y1y2, 2mt2 t23 t2m23 t23 代入得t2m232m2t20, 所以(mt)21, 由题意mt0)的焦点F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C上异于O 的两点 (1)求抛物线C的方程; (2)若直线OA,OB的斜率之积为 ,求证:直线AB过x轴上一定点 1 2 解:(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1,0),所以 1,即p2.所以抛物 p 2 线C的方程为y24x. (2)证明:当直线AB的斜率不存在时, 设A,B. ( t2 4 ,t) ( t2 4 ,t) 因为直线
5、OA,OB的斜率之积为 , 1 2 所以 ,化简得t232. t t2 4 t t2 4 1 2 所以A(8,t),B(8,t),此时直线AB的方程为x8. 当直线AB的斜率存在时, 设其方程为ykxb,A(xA,yA),B(xB,yB), 联立方程组 y24x, ykxb,) 消去x得ky24y4b0. 由根与系数的关系得yAyB, 4b k 因为直线OA,OB的斜率之积为 , 1 2 所以 ,即xAxB2yAyB0. yA xA yB xB 1 2 即 2yAyB0, y 4 y 4 解得yAyB0(舍去)或yAyB32. 所以yAyB32,即b8k, 4b k 所以ykx8k,即yk(x
6、8) 综合可知,直线AB过定点(8,0) 定值问题(综合型) 典型例题 (2018沈阳教学质量监测(一)设O为坐标原点,动点M在椭圆1 上, x2 9 y2 4 过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.NP 2NM (1)求点P的轨迹E的方程; (2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A,B两点,过F(1,0)作与l1垂直的直线l2 与点P的轨迹交于C,D两点,求证:为定值 1 |AB| 1 |CD| 【解】 (1)设P(x,y),易知N(x,0),(0,y),NP 又 ,所以M,NM 1 2 NP (0, y 2)(x, y 2) 又点M在椭圆上,所以1,即1. x2 9 ( y 2)
7、2 4 x2 9 y2 8 所以点P的轨迹E的方程为1. x2 9 y2 8 (2)证明:当直线l1与x轴重合时,|AB|6,|CD|, 16 3 所以. 1 |AB| 1 |CD| 17 48 当直线l1与x轴垂直时,|AB|,|CD|6, 16 3 所以. 1 |AB| 1 |CD| 17 48 当直线l1与x轴不垂直也不重合时, 可设直线l1的方程为yk(x1)(k0), 则直线l2 的方程为y (x1), 1 k 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 联立直线l1与曲线E的方程 yk(x1), x2 9 y 2 8 1, ) 得(89k2)x218
8、k2x9k2720, 可得 (18k2)24(89k2)(9k272)2 304(k21) 0, x1x2 18k2 89k2, x1x29k 272 89k2 ,) 所以|AB|,1k2(x1x2)24x1x2 48(1k2) 89k2 联立直线l2与曲线E的方程得x2x720, y1 k(x1), x2 9 y 2 8 1, ) (8 9 k2) 18 k2 9 k2 同理可得|CD|.1 1 k2 (x3x4)24x3x4 48(1k2) 98k2 所以. 1 |AB| 1 |CD| 89k2 48(k21) 98k2 48(k21) 17 48 综上可得为定值 1 |AB| 1 |CD
9、| 求定值问题常见的 2 种方法 (1)从特殊入手,求出其值,再证明这个值与变量无关这符合一般与特殊的思维辩证 关系简称为:特殊探路,一般论证 (2)直接推理,计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值 对点训练 已知椭圆C:1,A为椭圆C上的一点,其坐标为,E,F是椭圆C上的两 x2 4 y2 3(1, 3 2) 动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数求证:直线EF的斜率为定值,并求出 该定值 解:设直线AE的方程为yk(x1) (k0), 3 2 联立消去y, x2 4 y 2 3 1, yk(x1)3 2) 得(4k23)x2(12k8k2)x4120, ( 3 2k) 2
10、 则xE, 4(3 2k) 2 12 (4k23)xA 4k212k3 4k23 又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数, 故以上k用k代替得xF, 4k212k3 4k23 所以kEFy FyE xFxE k(xF1)3 2k(x E1)3 2 xFxE . k(xFxE)2k xFxE 把两式代入上式,得kEF ,为定值 1 2 最值和范围问题(综合型) 典型例题 命题角度一 构建目标不等式求最值或范围 方法一:利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式 已知圆x2y21 过椭圆1(ab0)的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共 x2 a2 y2 b2 点, 直线l:ykxm与圆x2y21 相切
11、, 与椭圆1 相交于A,B两点 记 x2 a2 y2 b2 OA ,且 .OB 2 3 3 4 (1)求椭圆的方程; (2)求k的取值范围 【解】 (1)由题意知 2c2,即c1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点,所以b1,所以a2b2c22, 故所求椭圆方程为y21. x2 2 (2)由直线l:ykxm与圆x2y21 相切, 得m2k21.由得(12k2)x2 ykxm, x2 2 y21 ) 4kmx2m220.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2, 4km 12k2 2m22 12k2 OA x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2.OB k21 12
12、k2 由 ,得 k21,即k的取值范围是. 2 3 3 4 1 21, 2 2 2 2 ,1 先通过直线与圆相切得到k,m的关系,然后利用已知条件中的不等关系 ,结 2 3 3 4 合向量的数量积及根与系数的关系构造关于k,m的不等式,再由k,m的关系,消元,得到 关于k的不等式,通过解不等式达到目的 方法二:利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式 已知A是椭圆E:1(t3)的左顶点, 斜率为k(k0)的直线交E于A,M两 x2 t y2 3 点,点N在E上,MANA. (1)当t4,|AM|AN|时,求AMN的面积; (2)当 2|AM|AN|时,求k的取值范围 【解】 (1)由|AM|A
13、N|, 可得M,N关于x轴对称, 由MANA, 可得直线AM的斜率k 为1.因为t4, 所以A(2, 0), 所以直线AM的方程为yx2, 代入椭圆方程E:1, x2 4 y2 3 可得 7x216x40,解得x2 或x ,所以M,N, 2 7( 2 7, 12 7)( 2 7, 12 7) 则AMN的面积为 . 1 2 24 7( 2 72) 144 49 (2)由题意知t3,k0,A(, 0), 将直线AM的方程yk(x)代入1 得(3tt x2 t y2 3 tk2)x22tk2xt2k23t0.设M(x1,y1), 则x1(), 即x1,tt t2k23t 3tk2 t(3tk2) 3
14、tk2 故|AM|x1|.由题设知,直线AN的方程为y (x),故t1k2 6t(1k2) 3tk2 1 k t 同理可得|AN|.由 2|AM|AN|得,即(k32)t3k(2k 6 k t (1k2) 3k2t 2 3tk2 k 3k2t 1)当k时上式不成立,因此t. 3 2 3k(2k1) k32 由t3,得3,所以 0, k32 0,) 3 2 3 2 (1)利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间 的等量关系,将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题 (2)本题通过已知条件 2|AM|AN|得到新参数k与已知参数t之间的关系,然后利用 题目中的已知
15、条件t3 建立关于k的不等式 方法三:利用判别式构建目标不等式 已知点F为椭圆E:1(ab0)的左焦点, 且两焦点与短轴的一个顶点构成 x2 a2 y2 b2 一个等边三角形,直线 1 与椭圆E有且仅有一个交点M. x 4 y 2 (1)求椭圆E的方程; (2)设直线 1 与y轴交于点P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B, x 4 y 2 若|PM|2|PA|PB|,求实数的取值范围 【解】 (1)由题意,得a2c,bc,3 则椭圆E为1. x2 4c2 y2 3c2 由消去y,得x22x43c20. x2 4 y 2 3 c2, x 4 y 21 ) 因为直线 1 与椭圆E有且仅有
16、一个交点M, x 4 y 2 所以44(43c2)0,解得c21, 所以椭圆E的方程为1. x2 4 y2 3 (2)由(1)得M, (1, 3 2) 因为直线 1 与y轴交于P(0,2), x 4 y 2 所以|PM|2 , 5 4 当直线l与x轴垂直时, |PA|PB|(2)(2)1,33 所以|PM|2|PA|PB| , 4 5 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为ykx2, A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去y, ykx2, 3x24y2120) 整理得(34k2)x216kx40, 则x1x2,且48(4k21)0,k2 . 4 34k2 1 4 所以|PA|PB|(1
17、k2)x1x2(1k2) 4 34k2 1, 1 34k2 5 4 所以, 4 5(1 1 34k2) 因为k2 ,所以 0 构建关于k 的不等式,从而求得的取值范围 方法四:利用点在曲线内(外)的充要条件构建不等式 设抛物线过定点A(1,0),且以直线x1 为准线 (1)求抛物线顶点的轨迹C的方程; (2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x 平分,设弦MN 1 2 的垂直平分线的方程为ykxm,试求m的取值范围 【解】 (1)设抛物线的顶点为G(x,y),则其焦点为F(2x1,y),由题意可知点A到 直线x1 的距离为 2, 则|AF|2, 所以2, 所以轨迹C的方程
18、为x21(x1)4x2y2 y2 4 (2)设弦MN的中点为P,M(xM,yM),N(xN,yN),则由点M,N为椭圆C上的点, ( 1 2,y 0) 可知 4xy4,4xy4,两式相减, 2M2M2N2N 得 4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0, 将xMxN21,yMyN2y0, , ( 1 2) yMyN xMxN 1 k 代入式得k. y0 2 又点P在弦MN的垂直平分线上,所以y0km, 所以m ( 1 2,y 0) 1 2 y0ky0. 1 2 3 4 由点P在线段BB上(B(xB,yB),B(xB,yB)为直线x ( 1 2,y 0) 与椭圆的交点, 如图所示),
19、所以yBb0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、 右焦点, x2 a2 y2 b2 3 3 过F2的直线l与C相交于A,B两点,F1AB的周长为 4.3 (1)求椭圆C的方程; (2)设,T(2,0),若3,1,求|的取值范围F2A F2B TA TB 【解】 (1)由离心率e, 可知 , 由F1AB的周长为 4, 得 4a4, 所以a 3 3 c a 3 3 33 ,c1,b2a2c22,故椭圆C的方程为1.3 x2 3 y2 2 (2)当直线l的斜率不存在, 即1 时, 设A在x轴上方, 则A,B, (1, 2 3 3) (1, 2 3 3) 又T(2,0), 所以|2.TA TB
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- 2019 高考 数学 二轮 复习 第二 部分 突破 热点 分层 教学 专项 专题 圆锥曲线 综合 问题
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