2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题六1第1讲概率离散型随机变量及其分布列学案.pdf
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1、第 1 讲 概率、离散型随机变量及其分布列第 1 讲 概率、离散型随机变量及其分布列 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 几何概型T10 卷 二项分布及其应用T20 卷古典概型T8 2018 卷二项分布、方差T8 数学文化、与面积有关的几何概 型T2 卷 正态分布、二项分布的性质及概率、 方差T19 2017 卷 频数分布表、概率分布列的求解、数 学期望的应用T18 与长度有关的几何概型T4 卷柱状图、相互独立事件与互斥事件的 概率、分布列和数学期望T19 几何概型、随机模拟T10 2016 卷互斥事件的概率、条件概率、随机变 量的分布列和数学期望T18 1.概率、 随机变量及其分布列是高 考
2、命题的热点之一,命题形式为 “一小一大” ,即一道选择或填空 题和一道解答题. 2.选择或填空题常出现在第 4 10 题或第 1315 题的位置, 主要 考查随机事件的概率、古典概型、 几何概型,难度一般. 3.概率解答题多在第18或19题的 位置, 多以交汇性的形式考查, 交 汇点主要有两种:(频率分布直方 图与茎叶图)择一与随机变量的分 布列、 数学期望、 方差相交汇来考 查 ; (频率分布直方图与茎叶图)择 一与线性回归或独立性检验相交 汇来考查,难度中等. 古典概型与几何概型(基础型) 古典概型的概率公式 P(A) . m n A中所含的基本事件数 基本事件总数 几何概型的概率公式 P
3、(A). 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 考法全练 1(2018高考全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先 的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ,如 30723.在 不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是( ) A.B. 1 12 1 14 C.D. 1 15 1 18 解析:选 C.不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共 10 个,从 中随机选取两个不同的数有C种不同的取法, 这10个数中两个不同的数的和等于30的有3
4、 2 10 对,所以所求概率P ,故选 C. 3 C 1 15 2(一题多解)(2018高考全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何 图形 此图由三个半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC, 直角边AB,AC. ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机 取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则( ) Ap1p2Bp1p3 Cp2p3Dp1p2p3 解析 : 选 A.法一 : 设直角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则区域 的 面 积 即 ABC的 面 积 , 为S1bc, 区 域 的 面 积S2 1
5、 2 1 2( c 2) 2 1 2( b 2) 2 (c2b2a2)bcbc, 所以S1S2, 由几何概型的知识知p1p2, ( a 2) 2 2 1 2bc 1 8 1 2 1 2 故选 A. 法二 : 不妨设ABC为等腰直角三角形,ABAC2,则BC2,所以区域的面积即2 ABC的面积,为S1 222,区域的面积S2122,区 1 2 ( 2)2 2 2 域的面积S322.根据几何概型的概率计算公式, 得p1p2 ( 2)2 2 2 2 ,p3,所以p1p3,p2p3,p1p2p3,故选 A. 2 2 3 (2018潍坊模拟)如图, 六边形ABCDEF是一个正六边形, 若在正六边形内任取
6、一点, 则该点恰好在图中阴影部分的概率是( ) A.B. 1 4 1 3 C.D. 2 3 3 4 解析 : 选 C.设正六边形的中心为点O,BD与AC交于点G,BC1, 则BGCG, BGC120 ,在BCG中,由余弦定理得 1BG2BG22BG2cos 120,得BG,所以 3 3 SBCG BGBGsin 120 , 因为S六边形ABCDEFSBOC6 11 1 2 1 2 3 3 3 3 3 2 3 12 1 2 sin 606,所以该点恰好在图中阴影部分的概率是 1 . 3 3 2 6S BCG S正六边形ABCDEF 2 3 4(2018郑州模拟)某校选定 4 名教师去 3 个边远
7、地区支教(每地至少 1 人),则甲、 乙两人不在同一边远地区的概率是_ 解析 : 选定 4 名教师去 3 个边远地区支教(每地至少 1 人), 不同的支教方法有 C A 种, 2 43 3 而甲、乙两人在同一边远地区支教的不同方法有 C A 种,所以甲、乙两人不在同一 2 23 3 边远地区支教的概率为P1 . CA CA 5 6 答案:5 6 5(2018南昌模拟)在圆x2y24 上任取一点,则该点到直线xy20 的距离2 d0,1的概率为_ 解析:圆x2y24 的圆心为O(0,0),半径r2, 所以圆心O到直线xy20 的距离为d12r,2 |002 2| 1212 所以直线xy20 与圆
8、O相切2 不妨设圆x2y24 上到直线xy20 的距离d0,1的所有点都在上,其中2AB 直线AB与直线xy20 平行,直线AB与直线xy20 的距离为 1,所以圆心到22 直线AB的距离为r11,所以 cos ,所以 AOB,得AOB,所以 ( 1 2AOB) 1 2 1 2 3 2 3 所求的概率P . 2 32 22 1 3 答案:1 3 互斥事件、相互独立事件的概率(基础型) 条件概率 在A发生的条件下B发生的概率 P(B|A). P(AB) P(A) 相互独立事件同时发生的概率 P(AB)P(A)P(B) 独立重复试验、二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立
9、重复试验中恰好发生k次 的概率为 Cpk(1p)nk,k0,1,2,n. k n 一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发 生的概率为p,则P(Xk)Cpkqnk,其中 0, 34 500 7 33 500 7 23 500 7 所以要使水电站日利润的期望值最大,该水电站应安装三台发电机 由于离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平, 离散型随机变量的 方差和标准差都反映了离散型随机变量取值偏离于均值的平均程度, 方差或标准差越小, 则 随机变量偏离于均值的平均程度越小,越稳定因此,常利用离散型随机变量的均值与方差 来解决有关决策问题 对点训练
10、 (2018惠州第二次调研)某学校为了丰富学生的课余生活, 以班级为单位组织学生开展 古诗词背诵比赛, 随机抽取一首, 背诵正确加 10 分, 背诵错误减 10 分, 且背诵结果只有 “正 确”和“错误”两种其中某班级学生背诵正确的概率 p ,记该班级完成 n 首背诵后的 2 3 总得分为 Sn. (1)求 S620 且 Si0(i1,2,3)的概率; (2)记 |S5|,求 的分布列及数学期望 解:(1)当 S620 时,即背诵 6 首后,正确的有 4 首,错误的有 2 首 由 Si0(i1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余 4 首可任意背诵正确 2 首; 若第一首背诵正确,第
11、二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余 3 首可任意背诵正确 2 首 则所求的概率 PC C . ( 2 3) 2 2 4(2 3) 2 ( 1 3) 2 2 3 1 3 2 3 2 3(2 3) 2 1 3 16 81 (2)由题意知 |S5|的所有可能的取值为 10,30,50,又 p , 2 3 所以 P(10)CC, 3 5(2 3) 3 ( 1 3) 2 2 5(2 3) 2 ( 1 3) 3 40 81 P(30)CC, 4 5(2 3) 4 ( 1 3) 1 1 5(2 3) 1 ( 1 3) 4 30 81 P(50)CC, 5 5(2 3) 5 ( 1 3) 0 0 5(2 3
12、) 0 ( 1 3) 5 11 81 所以 的分布列为 103050 P 40 81 30 81 11 81 所以 E()103050. 40 81 30 81 11 81 1 850 81 A 组 夯基保分专练 一、选择题 1(2018惠州第二次调研)设随机变量服从正态分布N(4,3),若P(a1),则实数a等于( ) A7 B6 C5D4 解析:选 B.由随机变量服从正态分布N(4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直 线x4, 又P(a1), 所以xa5与xa1关于直线x4对称, 所以a5 a18,即a6.故选 B. 2(2018武汉调研)将 7 个相同的小球投入甲、乙、丙、丁 4 个不
13、同的小盒中,每个 小盒中至少有 1 个小球,那么甲盒中恰好有 3 个小球的概率为( ) A.B. 3 10 2 5 C.D. 3 20 1 4 解析:选 C.将 7 个相同的小球投入甲、乙、丙、丁 4 个不同的小盒中,每个小盒中至 少有 1 个小球有 C 种放法,甲盒中恰好有 3 个小球有C种放法,结合古典概型的概率计算 3 62 3 公式得所求概率为 .故选 C. C C 3 20 3小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A“4 个人 去的景点不相同” ,事件B“小赵独自去一个景点” ,则P(A|B)( ) A.B. 2 9 1 3 C.D. 4 9 5 9 解析
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