2019年高考数学(理科,天津课标版)二轮复习题型练 Word版含答案 6.pdf
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1、题型练题型练 6 大题专项大题专项(四四) 立体几何综合问题立体几何综合问题 1. 如图,已知四棱台 ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形.A1A=6,且 A1A底面 ABCD.点 P,Q 分别在棱 DD1,BC 上. (1)若 P 是 DD1的中点,证明:AB1PQ; (2)若 PQ平面 ABB1A1,二面角 P-QD-A 的余弦值为 ,求四面体 ADPQ 的体积. 3 7 2. (2018江苏,22)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点 P,Q 分别为 A1B1,BC 的中点. (1)求异面直线 BP与 AC1所成角的余弦值;
2、(2)求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值. 3. 如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB平面 BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是 线段 BE,DC的中点. (1)求证:GF平面 ADE; (2)求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值. 4. 在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD 是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点 P平 面 CC1D1D,且 PD=PC=. 2 (1)证明:PD平面 PBC; (2)求 PA与平面 ABCD 所成角的正切值; (3)当 AA1的长为何值时,PC平面 AB1D?
3、 5. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1. (1)证明:PCAD; (2)求二面角 A-PC-D 的正弦值; (3)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE与 CD 所成的角为 30,求 AE 的长. 6.已知四边形 ABCD 满足 ADBC,BA=AD=DC= BC=a,E 是 BC 的中点,将BAE沿 AE 翻折成 1 2 B1AE,使平面 B1AE平面 AECD,F为 B1D 的中点. (1)求四棱锥 B1-AECD 的体积; (2)证明:B1E平面 ACF; (3)求平面 ADB1与平面 ECB1所成
4、锐二面角的余弦值. 题型练 6 大题专项(四) 立体几何综合问题 1.解 由题设知,AA1,AB,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如 图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为 A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中 m=BQ,0m6. (1)证明:若 P是 DD1的中点,则 P( 0, 9 2 ,3 ), =(6, - 9 2 , - 3 ). 又=(3,0,6),于是=18-18=0,11 所以,即 AB1PQ.1 (2)由题设知,=(6,m-6,0),=(0,-3
5、,6)是平面 PQD内的两个不共线向量.1 设 n1=(x,y,z)是平面 PQD 的一个法向量,则 1 = 0, 1 1 = 0, 即6 + ( - 6) = 0, - 3 + 6 = 0. 取 y=6,得 n1=(6-m,6,3). 又平面 AQD 的一个法向量是 n2=(0,0,1),所以 cos= 1 2 | 1 | 2| = 3 1 (6 - )2+ 62+ 32 = . 3 (6 - )2+ 45 而二面角 P-QD-A 的余弦值为 ,因此,解得 m=4 或 m=8(舍去),此时 Q(6,4,0). 3 7 3 (6 - )2+ 45 = 3 7 设=(0|=,1 |1| |1|
6、= | - 1 + 4| 5 22 = 310 20 . 因此,异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为 310 20 . (2)因为 Q 为 BC的中点,所以 Q, ( 3 2 , 1 2 ,0 ) 因此=(0,2,2),=(0,0,2). =( 3 2 , 3 2 ,0 ),1 1 设 n=(x,y,z)为平面 AQC1的一个法向量, 则 = 0, 1 = 0,即 3 2 + 3 2 = 0, 2 + 2 = 0. 不妨取 n=(,-1,1). 3 设直线 CC1与平面 AQC1所成角为 , 则 sin =|cos|=,1 | 1| | 1| = 2 5 2 = 5 5 所以直线 CC1
7、与平面 AQC1所成角的正弦值为 5 5 . 3. (1)证法一 如图,取 AE的中点 H,连接 HG,HD,又 G 是 BE的中点, 所以 GHAB,且 GH= AB. 1 2 又 F 是 CD 的中点, 所以 DF= CD. 1 2 由四边形 ABCD 是矩形,得 ABCD,AB=CD, 所以 GHDF,且 GH=DF, 从而四边形 HGFD 是平行四边形, 所以 GFDH. 又 DH平面 ADE,GF平面 ADE, 所以 GF平面 ADE. 证法二 如图,取 AB中点 M,连接 MG,MF. 又 G是 BE 的中点,可知 GMAE. 又 AE平面 ADE,GM平面 ADE,所以 GM平面
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