精修版(人教A版)高中数学必修5第三章 【素材】3.4基本不等式 备课资料.doc
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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理备课资料一、课外阅读算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a1,a2,a3,a n为正实数,这n个数的算术平均值记为A,几何平均值记为G,即,即AG,当且仅当a1a2an时,AG.特别地当n2时,,当n3时,. (2)用局部调整法证明均值不等式AG.设这n个正数不全相等.不失一般性,设0a1a2a n,易证a 1Aa n,且a1Gan.在这n个数中去掉一个最小数a1,将a 1换成A,再去掉一个最大数an,将an换成a1anA,其余各数不变,于是得到第二组正数:A,a2,a3,a n1,a
2、1a nA.这一代换具有下列性质:两组数的算术平均值不变,设第二组数的算术平均值为A1,那么A1=A,两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G1,则G1A(a1anA)a 1an(Aa1)(a nA),由a1Aan,得(Aa1)(anA)0,则A(a1anA)a1an.Aa 2a 3a n1(a1a nA)a1a 2an1a n.G1G.若第二组数全相等,则A1G 1,于是AA1G 1G证明完毕.若第二组数不全相等,再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b1和最大数bn,分别用A1(即A)和b1bnA代替,因为有b1A1b n且A1A.因而第二组数中的A不是最小数b1,也不是最
3、大数bn,不在去掉之列,在替换中不会被换掉,而只会再增加,如此替换下去,每替换一次,新数中至少增加一个A,经过n2次替换,新数中至少出现n2个A,最多经过n1次替换,得到一个全部是A的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中,数组的算术平均值不变,始终等于A,而几何平均值不断增大,即GG 1G2G k,而GkAkA,因而GA成立.二、课外拓展平均值不等式:平均不等式是最重要而基本的不等式之一,应用极其广泛,如能灵活运用,将产生意想不到的效果,这类试题在数学竞赛中经常出现.请同学们课后查找资料,阅读此四个不等式的证明过程.平均值定理:设n个正数a1,a2,an,记调和平均几何平
4、均, 算术平均,平方平均.这4个平均有如下关系:HnGnAnQ n,等号成立的充要条件都是a1=a 2=a n.备课资料备用习题1.已知a、b是正实数,试比较an+bn与a n-1b+abn-1的大小.解:an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).当ab0时,a-b0,a n-1-b n-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0;当ba0时,a-b0,a n-1-bn-10,得(a-b)(a n-1-b n-1)0;当b=a0时,(a-b)(an-1-bn-1)=0;所以当ab时,an+bna n-1b+ab n-1;当
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