2019数学新设计北师大选修2-1课件:第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 .ppt
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1、2.2 抛物线的简单性质,抛物线的简单性质,【做一做1】 抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是( ),答案:C,【做一做2】 等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则ABO的面积是( ) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2,答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形. ( ) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上. ( ) (3)直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,直线与抛物线的位置
2、关系 【例1】 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时,直线l与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点? 思维点拨:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系. 解:由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2).,得ky2-4y+4(2k+1)=0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1). 1由=0,即2k2+k-1=0,从而方程组(*)只有一个解. 这时,直线l与抛物线只有一个公共点.,探究一,探究二,探究
3、三,思维辨析,于是,当k 时,方程没有实数解,从而方程组(*)没有解.这时,直线l与抛物线没有公共点. 综上,我们可得,反思感悟解决直线与圆锥曲线的交点问题时,主要方法是构建一元二次方程,判断其解的个数,确定斜率或直线的倾斜角时,应特别注意斜率为0和斜率不存在两种情形,还应注意在抛物线中,直线和曲线有一个公共点并不一定相切.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 如图,已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)(k0)相交于A,B两点,且直线与x轴交于点N. (1)求证:OAOB; (2)当OAB的面积等于 时,求k的值. 思维点拨:利用根与系数的关系、弦长公式或应用向量解题.,探究一
4、,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求抛物线方程 【例2】 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2 ,求这条抛物线的方程. 思维点拨:因为圆和抛物线都关于x轴对称,所以它们的交点也关于x轴对称,即公共弦被x轴垂直平分,于是由弦长等于2 ,可知交点纵坐标为 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:设所求抛物线方程为y2=2px或y2=-2px,p0. 设交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y10,y20),所求抛物线方程为y2=3x或y2=-3x. 反思感悟因为抛物线是轴对称图形,所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分.,
5、探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.,解:如图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则经过焦点且倾斜角为135的直线方程为y=-x+ p. 设直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义,又点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,x1+x2=3p.将其代入,得p=2. 所求抛物线的方程为y2=4x. 当抛物线的方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.,探究一,探究二,探究三
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