2018_2019学年高中物理第5章万有引力定律及其应用第2节万有引力定律的应用第3节人类对太空的不懈追求学案鲁科版必修2.pdf

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1、第 2 节 万有引力定律的应用第 2 节 万有引力定律的应用 第 3 节 人类对太空的不懈追求第 3 节 人类对太空的不懈追求 学习目标核心提炼 1.了解人造地球卫星的发射原理。 2.掌握卫星的运动规律，并会分析有关问题，掌握同步卫星的规律。 3.理解第一宇宙速度，并会计算；了解第二宇宙速度和第三宇宙速度。 4.了解人类对太空的探索。 3 个速度第一、 二、三宇宙速度 几个关系线速 度、角速度、周期与 轨道半径的关系 一、人造卫星上天与宇宙速度 阅读教材第 9699 页“人造卫星上天”部分，知道人造地球卫星的概念，初步了解人造地 球卫星的动力学原理。 1.人造地球卫星的发射原理 (1)牛顿设想

2、：如图 1 甲所示，当物体被抛出的速度足够大时，它将围绕地球旋转而不再落 回地面，成为一颗人造地球卫星。 图 1 (2)发射过程简介：如图乙所示，发射人造地球卫星的火箭一般为三级。使卫星进入地球轨 道后的大致过程也为三个阶段。 2.动力学特点 ： 一般情况下可认为人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其向心力由地球对它的 万有引力提供。 3.卫星环绕地球运动的规律：由Gm可得v。可知，卫星的轨道半径越小，线速 Mm r2 v2 r GM r 度越大。 4.宇宙速度 (1)第一宇宙速度：v17.9 km/s，又称环绕速度，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆 周运动的速度。 (2)第二宇宙速度：v211.

3、2 km/s，又称脱离速度，是人造卫星脱离地球引力所需的速度。 (3)第三宇宙速度：v316.7 km/s，又称逃逸速度，是人造卫星脱离太阳引力所需的速度。 思维拓展 在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动，请思考： 图 2 (1)这些卫星的轨道平面有什么特点？ (2)这些卫星的线速度、角速度、周期跟什么因素有关呢？ 答案 (1)轨道平面过地心 (2)与轨道半径有关 二、人类对太空的探索 阅读教材第 99105 页“预测未知天体、人类对太空的不懈追求”部分，了解人类迈向太空 的重大历史事件。 1.发现未知天体：在观测天王星时，发现其实际轨道与由万有引力定律计算的轨道不吻合， 由此预

4、测存在另一行星，这就是后来发现的海王星。 2.人类对太空的不懈追求 (1)古希腊人的探索与文艺复兴时期的学说。 内容局限性 地心说 地球是宇宙的中心， 而且是静止不动的， 太阳、月亮以及其他天体都绕地球运动 日心说 太阳是宇宙的中心，且是静止不动的， 地球和其他天体都绕太阳运动 都把天体的运动看得很神圣，认为天体 的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆 周运动，这和丹麦天文学家第谷的观测 数据不符 (2)牛顿的大综合：牛顿在前人的基础上，逐步建立了万有引力定律，将地面上的力学与天 上的力学统一起来，是物理学的第一次大综合，形成了以牛顿三大定律为基础的力学体系。 (3)对太空的探索成果。 1957

5、年 10 月，前苏联成功发射了第一颗人造地球卫星。 1969 年 7 月，美国“阿波罗”11 号登上月球。 2003 年 10 月，“神舟五号”发射升空，圆了中国人的飞天梦想。 2012 年 6 月，我国“神舟九号”飞船首次完成与“天宫一号”的手控交会对接任务。 思维拓展 宇航员在太空中离开飞船后而不落回地面，是否是由于宇航员不再受到地球的引力作用？ 答案 不是。宇航员在太空中离开飞船后，依然绕地球运动，受到地球的引力提供向心力。 宇宙速度及其理解 要点归纳 1.认识第一宇宙速度 ： 第一宇宙速度是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动必须具备的速 度，即近地卫星的环绕速度。 2.推导：对于近地人

6、造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R6 400 km，卫星在轨道处所 受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g9.8 m/s2，则 3.决定因素：由第一宇宙速度的计算式v可以看出，第一宇宙速度的值由中心天体决 GM R 定，第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M和半径R，与卫星无关。 4.对发射速度和环绕速度的理解 (1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服 地球对它的引力。 近地轨道是人造卫星的最低运行轨道， 而近地轨道的发射速度就是第一宇 宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。 (2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运

7、动的卫星中，近地卫星的轨道半径最 小，由Gm可得v，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星 Mm r2 v2 r GM r 的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。 精典示例 例 1 已知地球的质量约为火星质量的 10 倍，地球的半径约为火星半径的 2 倍，则航天器 在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( ) A.3.5 km/s B.5.0 km/s C.17.7 km/s D.35.2 km/s 解析 构建公转模型， 对卫星由万有引力提供向心力， 有Gm， 对近地卫星v近地， Mm r2 v2 r GM地 r近地 同理对航天器有v航， 联立两式有， 而v近地7.9 km

8、/s， 解得v航3. 5 GM火 r航 v航 v近地 M火r近地 M地r航 5 5 km/s，A 项正确。 答案 A 针对训练 1 已知某天体的第一宇宙速度为 8 km/s， 则高度为该天体半径的 3 倍轨道上宇宙 飞船的运行速度为( ) A.2 km/s B.4 km/s2 C.4 km/s D.2 km/s2 解析 由Gm得线速度为v， 第一宇宙速度v， 故飞船的速度v Mm r2 v2 r GM r GM R GM r GM 4R 8 km/s4 km/s，B 正确。 1 2 答案 B 人造地球卫星的运动规律及应用 要点归纳 1.人造卫星的轨道 ： 卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它

9、的万有引力提供向心力。因 此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合， 而这样的轨道有多种， 其中比较特殊的 有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道。 当然也存在着与赤道平面呈某一角 度的圆轨道。 人造地球卫星的三种轨道 图 3 2.卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系 推导式关系式结论 线速度Gm Mm r2 v2 r v GM r r越大，v越小 角速度Gmr2 Mm r2 GM r3 r越大，越小 周期Gmr Mm r2( 2 T) 2 T2 r3 GM r越大，T越大 向心加 速度 Gma Mm r2 aGM r2r越大，a越小 3.地球同步卫星 (1)概

10、念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫做地球同步卫星。 (2)特点： 确定的转动方向：和地球自转方向一致； 确定的周期：和地球自转周期相同，即T24 h； 确定的角速度：等于地球自转的角速度； 确定的轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合； 确定的高度：离地面高度固定不变(3.6104 km)； 确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1103 m/s)。 精典示例 例 2 (多选)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动， 如图 4 所示， 已知mAmB mC，则对于三颗卫星，正确的是( ) 图 4 A.运行线速度关系为vAvBvC B.运行周

11、期关系为TATBTC C.向心力大小关系为FAFBFC D.半径与周期关系为 R T R T R T 解析 由Gm得v， 所以vAvBvC， 选项 A 正确 ； 由Gmr得T2， Mm r2 v2 r GM r Mm r2 42 T2 r3 GM 所以TATBTC，选项 B 正确；由Gman得anG，所以aAaBaC，又mAmBmC，所 Mm r2 M r2 以FAFB，FBFC，选项 C 错误；三颗卫星都绕地球运动，故由开普勒第三定律得 ，选项 D 正确。 R T R T R T 答案 ABD 卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小，即“越高 越慢” 。 针对

12、训练 2 (2018酒泉高一检测)如图 5 所示， 若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆 周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( ) 图 5 A. B. v1 v2 r2 r1 v1 v2 r1 r2 C. D. v1 v2( r2 r1) 2 v1 v2( r1 r2) 2 解析 对人造卫星，根据万有引力提供向心力m，可得v。所以对于a、b两颗 GMm r2 v2 r GM r 人造卫星有，故选项 A 正确。 v1 v2 r2 r1 答案 A 1.(对三个宇宙速度的理解)(多选)下列关于三个宇宙速度的说法中正确的是( ) A.第一宇宙速度v17.9 k

13、m/s，第二宇宙速度v211.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道 上运行时的速度大于等于v1，小于v2 B.美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度 C.第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚， 成为绕太阳运行的人造行星的 最小发射速度 D.第一宇宙速度 7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 解析 根据v 可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1 GM r 7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项 D 正确 ； 实际上，由于人 造卫星的轨道半径都大于地球半径， 故卫星绕地球在圆

14、轨道上运行时的速度都小于第一宇宙 速度，选项 A 错误 ； 美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度 小于第三宇宙速度，选项 B 错误 ； 第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球束缚而成为太 阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项 C 正确。 答案 CD 2.(天体的运行规律)(多选)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行， 其运动视 为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量 为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( ) A.线速度v B.角速度 GM R gR C.运行周期T2 D.向心加速度a R g Gm R2 解析 探

15、月航天器在接近月球表面的轨道上飞行， 万有引力提供向心力， 有Gmam Mm R2 v2 R m2RmR，可得a，v，T2，所以 A 正确，D 错误；又由于 42 T2 GM R2 GM R GM R3 R3 GM 不考虑月球自转的影响，则Gmg，即GMgR2，所以，T2，所以 B 错误，C Mm R2 g R R g 正确，故选 A、C。 答案 AC 3.(一般卫星与同步卫星)(2018西安高一检测)2015 年 12 月， 我国暗物质粒子探测卫星 “悟 空”发射升空进入高为 5.0102 km 的预定轨道。“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可 视为匀速圆周运动。已知地球半径R6.4103

16、km。下列说法正确的是( ) 图 6 A.“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小 B.“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小 C.“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小 D.“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小 解析 地球同步卫星距地表 36 000 km， 由v可知， “悟空” 的线速度较大， 所以 A 错误 ； GM r 由可知，“悟空”的角速度较大，即周期较小，由a可知，“悟空”的向心加 GM r3 GM r2 速度较大，因此 B、D 错误，C 正确。 答案 C 4.(地球同步卫星)利用三颗位置适当的地球同步卫星， 可使地球赤道上任意两点之间保持无 线电通讯。目前，

17、地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍。假设地球的自转周期变 小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h 解析 同步卫星的环绕周期与地球自转周期相等，对同步卫星有Gm Mm （6.6R）2 42 （24 h）2 (6.6R)，地球自转周期减小，则同步卫星需要降低高度，三颗卫星全覆盖赤道的最小高度如 图，图中MP、MQ与地球相切，根据几何关系得同步卫星的最小轨 道半径为 2R，由开普勒第三定律，有，得T4 h，故选 B。 （6.6R）3 （24 h）2 （2R）3 T2 答案 B 5.(人造卫星的运行及有关

18、计算)一颗人造卫星在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上运 行，已知地球的第一宇宙速度为v17.9 km/s，g取 9.8 m/s2。 (1)这颗卫星运行的线速度为多大？ (2)它绕地球运动的向心加速度为多大？ (3)质量为 1 kg 的仪器放在卫星内的平台上， 仪器的重力为多大？它对平台的压力为多大？ 解析 (1)卫星近地运行时，有Gm卫星离地面的高度为R时， Mm R2 v R 有Gm Mm （2R）2 v 2R 由以上两式得v2 km/s5.6 km/s v1 2 2 7.9 2 (2)卫星离地面的高度为R时，有Gma Mm （2R）2 靠近地面时，有mg GMm R2 解得ag2.45

19、m/s2 1 4 (3)在卫星内，仪器的重力等于地球对它的吸引力，则 Gmgma12.45 N2.45 N 由于卫星内仪器的重力完全用于提供做圆周运动的向心力， 仪器处于完全失重状态， 所以仪 器对平台的压力为零。 答案 (1)5.6 km/s (2)2.45 m/s2 (3)2.45 N 0 基础过关 1.(2018鄂州高一检测)探测器绕月球做匀速圆周运动， 变轨后在周期较小的轨道上仍做匀 速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( ) A.轨道半径变小 B.向心加速度变小 C.线速度变小 D.角速度变小 解析 探测器绕月球做圆周运动的向心力由月球的万有引力提供， 由Gmr， 得周期T Mm r2

20、42 T2 2，当周期变小时，轨道半径r变小，选项 A 正确；由Gmammr2，得向 r3 GM Mm r2 v2 r 心加速度aG， 线速度v， 角速度， 可见， 轨道半径r变小时， 向心加速度、 M r2 GM r GM r3 线速度和角速度都将变大，选项 B、C、D 均错误。 答案 A 2.(2018吉林高一检测)近地卫星线速度为 7.9 km/s， 已知月球质量是地球质量的， 地球 1 81 半径是月球半径的 3.8 倍，则在月球上发射“近月卫星”的环绕速度约为( ) A.1.0 km/s B.1.7 km/s C.2.0 km/s D.1.5 km/s 解析 由Gm得近地(月)卫星的

21、线速度为v。近月卫星与近地卫星的线速度之比 Mm R2 v2 R GM R 为， 所以近月卫星的线速度v20.22 v10.227.9 km/s1.7 km/s， 选项 B v2 v1 M2R1 M1R2 3.8 81 正确。 答案 B 3. (2018辽阳高一检测)“神舟十号”与“天宫一号”在对接前，在各自轨道上运行，它 们的轨道如图 1 所示，假定它们都做匀速圆周运动，则( ) 图 1 A.宇航员在“神舟十号”上不受地球引力作用 B.“天宫一号”的运行周期比“神舟十号”长 C.“天宫一号”的加速度比“神舟十号”大 D.“神舟十号”运行速度较大，要减速才能与“天宫一号”对接 解析 宇航员在“

22、神舟十号”上也受地球引力作用，选项 A 错误 ； “神舟十号”与“天宫一 号”在对接前，“天宫一号”的轨道半径大于“神舟十号”的轨道半径，根据Gmr， Mm r2 42 T2 可得“天宫一号”的运行周期比“神舟十号”长，选项 B 正确；根据aG，可得“天宫 M r2 一号”的加速度比“神舟十号”小，选项 C 错误 ； “神舟十号”若减速，将做近心运动，会 远离“天宫一号”的轨道，选项 D 错误。 答案 B 4. (2018南通高一检测)(多选)在航天领域中，悬绳卫星是一种新兴技术，它要求两颗卫 星都在圆周轨道上运动，且两颗卫星与地心连线始终在一条直线上，如图 2 所示。已知悬绳 的长度为L，其

23、重力不计，卫星A、B的线速度分别为v1、v2，则下列说法正确的是( ) 图 2 A.两颗卫星的角速度不相同 B.两颗卫星的线速度满足v1v2 C.两颗卫星之间的悬绳一定受到拉力的作用 D.假设在B卫星轨道上还有一颗卫星C(图中没有画出)，它们在同一平面内同向运动，运动 一段时间后B、C可能相碰 解析 由题意知，A、B的周期相等，角速度相同，而vr，故v1v2，A、B 选项错误； 若悬绳对两卫星无拉力作用， 则A、B的向心力均等于地球对它们的万有引力， 由知， GM r3 AB，这与事实不符，故悬绳有拉力，C 正确 ； 对B卫星 ：GTm2r； 而对C卫星 ：G Mm r2 m2r，由此知，时间

24、足够长时，B、C一定会相碰，D 正确。 Mm r2 答案 CD 5.如图 3， 拉格朗日点L1位于地球和月球连线上， 处在该点的物体在地球和月球引力的共同 作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立 空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的 大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是( ) 图 3 A.a2a3a1 B.a2a1a3 C.a3a1a2 D.a3a2a1 解析 设空间站轨道半径为r1，月球轨道半径为r2，同步卫星轨道半径为r3。空间站受月 球引力不能忽略， 而同步卫星是不计月球吸引力

25、的， 这就说明r2r1r3， 根据a1 r1，a2 2 1 r2， 由题意知12， 所以a2a1， 又因为a3G、a2G， 所以a3a2， 因此a3a2a1 2 2 M r M r 成立，D 正确。 答案 D 6.已知某星球的平均密度是地球的n倍，半径是地球的k倍，地球的第一宇宙速度为v，则 该星球的第一宇宙速度为( ) A.v B.kv n k n C.nk D.kvnkv 解析 由Gm，得v，将M r3代入，可得vr，所以该星球的第一宇 Mm r2 v2 r GM r 4 3 宙速度是地球第一宇宙速度的k倍，选项 B 正确。n 答案 B 能力提升 7.(多选)“天舟一号” 货运飞船于 20

26、17 年 4 月 20 日在文昌航天发射中心成功发射升空。 与 “天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约 380 km 的圆轨道上飞行，则其 ( ) A.角速度小于地球自转角速度 B.线速度小于第一宇宙速度 C.周期小于地球自转周期 D.向心加速度小于地面的重力加速度 解析 根据万有引力提供向心力得Gm(Rh)2mm(Rh) Mm （Rh）2 v2 （Rh） 42 T2 ma， 解得v，T，a， 由题意可知， “天 GM Rh GM （Rh）3 42（Rh）3 GM GM （Rh）2 舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角 速度，也大于地球

27、的自转角速度， “天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，也小于地球的 自转周期，选项 A 错误，C 正确；由第一宇宙速度为可知，“天舟一号”的线速度小于 GM R 第一宇宙速度，选项 B 正确；由地面的重力加速度g可知，“天舟一号”的向心加速度 GM R2 小于地面的重力加速度，选项 D 正确。 答案 BCD 8.如图 4 所示， 我国即将发射 “天宫二号” 空间实验室， 之后发射 “神舟十一号” 飞船与 “天 宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现 飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( ) 图 4 A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船

28、加速追上空间实验室实现对接 B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速， 加速后飞船逐渐靠近空间实验室， 两者速度 接近时实现对接 D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速， 减速后飞船逐渐靠近空间实验室， 两者速度 接近时实现对接 解析 卫星绕地球做圆周运动，满足G。若加速，则会造成G，卫星将做离 Mm r2 mv2 r Mm r2 mv2 r 心运动，因此要想使两卫星对接，绝不能同轨道加速或减速，只能从低轨道加速或从高轨道 减速，故 C 正确，A、B、D 错误。 答案 C 9.(多选)如图 5 所示，两质量相等的

29、卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分 别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正 确的有( ) 图 5 A.TATB B.EkAEkB C.SASB D. R T R T 解析 卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，即GmmR，得v，T2 Mm R2 v2 R( 2 T) 2 GM R ，由RARB，可知TATB，vAvB，由于两卫星的质量相等，因此EkAEkB，A 正确，B R3 GM 错误 ； 由开普勒第三定律，可知 ，D 正确 ； 卫星与地心的连线在t时间内扫过的面积S R T R T R2，可见在相同的时间里，轨道半径大的卫星与地心的

30、连线在相同时间内扫过的 t T t GMR 2 面积大，C 错误。 答案 AD 10.(2018朔州高一检测)(多选)假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞 船从火星返回地球时， 经历了如图 6 所示的变轨过程， 则有关这艘飞船的下列说法正确的是 ( ) 图 6 A.飞船在轨道上经过P点时的速度大于飞船在轨道上经过P点时的速度 B.飞船在轨道上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度 C.飞船在轨道上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道上运动到P点时的加速度 D.飞船绕火星在轨道上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道同样的轨道 半径运动的周期相同 解析 飞船在轨道上运动

31、至P点时必须点火加速才能进入轨道， 因此飞船在轨道上经 过P点时的速度小于飞船在轨道上经过P点时的速度，A 错误；由开普勒第二定律可知， 飞船在轨道上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度，B 正确 ； 由公式aG M r2 可知， 飞船在轨道上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道上运动到P点时的加速度， C 正确 ； 由公式T2可知，因地球质量和火星质量不同，所以飞船绕火星在轨道上运 r3 GM 动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道同样的轨道半径运动的周期不相同，D 错误。 答案 BC 11.(2018广州高一检测)质量为m的卫星在离地面R0处做匀速圆周运动。设地球的半径也 为R

32、0，地面的重力加速度为g，引力常数为G，求： (1)地球的质量； (2)卫星的线速度大小。 解析 (1)对地面上的物体mgGMm R 解得：MgR G (2)设卫星的线速度为v，卫星受到的合力等于万有引力：m GMm （2R0）2 v2 2R0 解得v gR0 2 答案 (1) (2) gR G gR0 2 12.(2018吉林高一检测)两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R， a卫星离地面的高度为R，b卫星离地面的高度为 3R，则 (1)a、b两卫星运行的线速度大小之比vavb是多少？ (2)a、b两卫星的周期之比TaTb是多少？ (3)a、b两卫星所在轨道处的重力加速度大小之比gagb是多少？ 解析 设地球的质量为M，a、b卫星的质量分别为ma、mb。 (1)由万有引力定律和牛顿第二定律有 对a卫星有G Mma （2R）2 mav 2R 对b卫星有G Mmb （4R）2 mbv 4R 解以上两式得vavb1。2 (2)由开普勒第三定律 r T r T 解以上两式得TaTb4。 r r 2 (3)由万有引力定律和牛顿第二定律有 对a卫星有Gmaga Mma （2R）2 对b卫星有Gmbgb Mmb （4R）2 解以上两式得gagb41。 答案 (1)1 (2)4 (3)4122