2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件:第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 §7.7 .pptx
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1、7.7 数学归纳法,大一轮复习讲义,第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,高考要求理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的命题,以附加题形式在高考中出现,难度为中高档,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.由一系列有限的_得出_的推理方法,通常叫做归纳法. 2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤如下: (1)归纳奠基:证明取第一个自然数n0时命题成立; (2)归纳递推:假设nk(kN*,kn0)时命题成立,证
2、明当nk1时,命题成立; (3)由(1)(2)得出结论.,ZHISHISHULI,特殊现象,一般性的结论,【概念方法微思考】,1.用数学归纳法证明命题时,n取第1个值n0,是否n0就是1? 提示 n0是对命题成立的第1个正整数,不一定是1.如证明n边形的内角和时,n3. 2.用数学归纳法证明命题时,归纳假设不用可以吗? 提示 不可以,用数学归纳法证明命题,必须用到归纳假设.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (2)不论是等式还是不等式,用数学
3、归纳法证明时,由nk到nk1时,项数都增加了一项.( ) (3)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”,验证n1时,左边式子应为122223.( ) (4)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n03.( ),题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,解析 nN*,n1,,1,2,3,4,5,6,3.P103T13在数列an中,a1 ,且Snn(2n1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为_.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1aa2,解析 当n1时,n12, 左边1a1a21aa2.,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,6.
4、用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN*)时,假设当nk时命题成立,则当nk1时,左端增加的项数是_.,2k,解析 运用数学归纳法证明 1232n2n122n1(nN*). 当nk时,则有1232k2k122k1(kN*), 左边表示的为2k项的和. 当nk1时,左边1232k(2k1)2k1, 表示的为2k1项的和,增加了2k12k2k项.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 用数学归纳法证明等式,自主演练,证明 当n1时,,左边右边,所以等式成立. 假设nk(kN*,k1)时等式成立,,则当nk1时,,所以当nk1时,等式也成立. 由可知,对于一切nN*等式都成立.,
5、假设当nk(kN*)时,等式成立,,那么,当nk1时,,所以当nk1时,等式也成立. 由知,等式对任何nN*均成立.,用数学归纳法证明等式时应注意: (1)明确初始值n0的取值; (2)由nk证明nk1时,弄清左边增加的项,明确变形目标; (3)变形时常用的几种方法:因式分解;添拆项;配方法.,题型二 证明不等式,师生共研,例1 若函数f(x)x22x3,定义数列xn如下:x12,xn1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn)(nN*)的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2xnxn13.,证明 当n1时,x12,f(x1)3,Q1(2,3). 所以直线PQ1的方程为y4x
6、11,,即n1时结论成立. 假设当nk(k1,kN*)时,结论成立, 即2xkxk13. 当nk1时,直线PQk1的方程为,代入上式,令y0,,由归纳假设,2xk13,,即xk1xk2,所以2xk1xk23, 即当nk1时,结论成立. 由知对任意的正整数n,2xnxn13.,数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则应考虑用数学归纳法. (2)关键:由nk时命题成立证nk1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.,由于当k1
7、时,k2k10,即k(2k1)k22k1,,综合可知,原不等式对nN*且n1恒成立.,题型三 数学归纳法的综合应用,多维探究,命题点1 整除问题 例2 (2018苏北四市期中)设nN*,f(n)3n7n2. (1)求f(1),f(2),f(3)的值;,解 nN*,f(n)3n7n2, f(1)3728, f(2)3272256, f(3)33732368.,(2)求证:对任意的正整数n,f(n)是8的倍数.,证明 用数学归纳法证明如下: 当n1时,f(1)3728,成立; 假设当nk(kN*)时成立,即f(k)3k7k2能被8整除, 则当nk1时, f(k1)3k17k12 33k77k2 3
8、(3k7k2)47k4 3(3k7k2)4(7k1), 3k7k2能被8整除,7k1是偶数, 3(3k7k2)4(7k1)一定能被8整除, 即nk1时也成立. 由得对任意正整数n,f(n)是8的倍数.,命题点2 和二项式系数有关的问题,F2 015(2)1.,(1)若fk(x)xk,求F2 015(2)的值;,设nm(mN*)时,对一切实数x(x0,1,m),,那么,当nm1时,对一切实数x(x0,1,(m1),,即nm1时,等式成立. 故对一切正整数n及一切实数x(x0,1,n),,命题点3 和数列集合等有关的交汇问题 例4 设集合M1,2,3,n(nN*,n3),记M的含有三个元素的子集个
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