2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习课件:8.5 空间向量及其应用 .pptx
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1、高考数学(浙江专用),8.5 空间向量及其应用,考点一 空间角,考点清单,1.两条异面直线所成的角的范围是 . 当= 时,这两条异面直线互相垂直. 2.斜线AO与它在平面内的 射影 所成的角叫做直线和平面所成 的角(或夹角). 3.斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角 中 最小 的角.如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的 角为 90 ;如果直线和平面平行或在平面内,那么就说直线和平面 所成的角为 0 .,考向基础,4.直线和平面所成角的范围为 . 5.斜线和所交平面所成的角的范围为 . 6.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫 做二面角的
2、棱.这两个半平面叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为、 的二面角记为-l-. 7.一个平面垂直于二面角的棱l,且与两个半平面的交线分别是射线 OA、OB,则AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直 二面角,相交成直二面角的两个平面互相垂直.,8.空间角公式 (1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,为l 1、l2所成的角,则cos =|cos |= . (2)线面角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法向量, 为l与所成的角,则sin =|cos|= . (3)面面角公式:设n1、n2分别为平面、的法向量,二面角为,则=或=-(需要根据具
3、体情况判断相等或互补),其中cos= .,【知识拓展】 设二面角-l-两个平面的法向量分别为n1,n2,在两个半平面内各取一点 A,B(两点都不在直线l上),二面角记为,则有如下结论:若 n1和 n2 同号,则cos =cos, 若 n1和 n2异号,则cos =-cos.,考向突破,考向一 求异面直线所成的角,例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异 面直线BC1与AE所成角的余弦值为( ) A. B. C. D.,解析 建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2), 所以 =(-1,
4、0,2), =(-1,2,1), 故cos= = . 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 .,答案 B,考向二 求直线与平面所成的角,例2 (2018浙江杭州高三教学质检,19)如图,在三棱锥A-BCD中,BAC =BAD=DAC=60,AC=AD=2,AB=3. (1)证明:ABCD; (2)求CD与平面ABD所成角的正弦值.,解析 (1)证明:AB=AB,BAC=BAD=60,AC=AD, ABCABD,BC=BD, (2分) 如图,取CD的中点E,连接AE,BE,则AECD,BECD, 又AEBE=E, CD平面ABE, (5分),AB平面ABE,ABCD. (7分) (2)解法一
5、:在ABD中,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos 60= 7, BD= , DE=1, BE= ,AE= , AB2=BE2+AE2,AEBE. (9分) 设点C到平面ABD的距离为h,CD与平面ABD所成的角为, VA-BCD=VC-ABD,即 CDSABE= hSABD, (11分) h= = = , (13分),sin = = , 故CD与平面ABD所成角的正弦值为 . (15分) 解法二:在ABD中,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos 60=7, BD= , DE=1,BE= ,AE= , AB2=BE2+AE2,AEBE. (9分) 以EB,E
6、C,EA所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,如图.,则A(0,0, ),B( ,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0), =( ,0,- ), =(0,-2,0), =(0,-1,- ). (11分) 设平面ABD的法向量为m=(x,y,z).,则 取m=(1,- , ), (13分) 设CD与平面ABD所成的角为,则sin =|cos|= = = . 故CD与平面ABD所成角的正弦值为 . (15分),考向三 求二面角,例3 (2018浙江名校协作体期初联考,17)如图,棱长为3的正方体的顶点 A在平面内,三条棱AB,AC,AD都在平面的同侧.若顶点B,C到平面的 距离
7、分别为 , ,则平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值为 .,解析 分别以AB,AC,AD所在直线为x,y,z轴,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0), D(0,0,3),平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1).设平面的单位法向量为n =(x,y,z),其中x2+y2+z2=1.由条件知| |cos|= ,得|x|= ,同理,由| |cos|= ,得|y|= ,由x2+y2+z2=1,得|z|= ,则平面ABC与平面 所成锐二面角的余弦值为|cos|=|z|= .,答案,考点二 空间向量在立体几何中的应用,考向基础 1.空间向量及运算 (1)设a=(a1,a2,a3),b=
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