江苏省2019高考数学二轮复习第20讲数列的综合应用课件201903024239.pptx
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1、第20讲 数列的综合应用,第20讲 数列的综合应用 1.在公比为q且各项均为正数的等比数列an中,Sn为an的前n项和.若a1= , 则S5=S2+2,且q的值为 .,答案,解析 由an0及a1= ,则S5-S2=a3+a4+a5=a1q2+a1q3+a1q4=1+q+q2=2,解得q= (舍负).,2.设等比数列an的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为 .,答案 2,解析 由S3,S9,S6成等差数列得S3+S6=2S9,则公比q1,q3+q6=2q9,2q6-q3-1=0,则q3 =- .又a2+a5=a2(1+q3)= a2=4,则a2=8,所以
2、a8=a2q6=8 =2.,3.设等差数列an的前项n和为Sn,若a5=3,S10=40,则nSn的最小值为 .,答案 -32,解析 设等差数列an的公差为d(d0),则a5=a1+4d=3,S10=10a1+ d=40,解 得a1=-5,d=2,则nSn=n(n2-6n)=n3-6n2.令f(x)=x3-6x2,x0,则f (x)=3x2-12x=3x(x- 4),x0,当x(0,4)时, f (x)0, f(x)递增, f(x)min =f(4)=64-96=-32,所以nSn的最小值为-32.,题型一 数列中的最值问题,例1 (2018南京师大附中高三模拟) 已知等差数列an和等比数列b
3、n均不 是常数列,若a1=b1=1,且a1,2a2,4a4成等比数列,4b2,2b3,b4成等差数列. (1)求an和bn的通项公式; (2)设m,n是正整数,若存在正整数i,j,k(ijk),使得ambj,amanbi,anbk成等差数列,求 m+n的最小值; (3)令cn= ,记cn的前n项和为Tn, 的前n项和为An.若数列pn满足p1=c1,且 对n2,nN*,都有pn= +Ancn,设pn的前n项和为Sn,求证:Sn4+4ln n.,解析 (1)设等差数列的公差为d(d0),等比数列的公比为q(q1),由题意得: 解得d=1,q=2,所以an=n,bn=2n-1. (2)由ambj,
4、amanbi,anbk成等差数列,有2amanbi=amabj+anbk,即2mn2i-1=m2j-1+n2k-1,由 于ijk,且为正整数,所以j-i1,k-i2,所以2mn=m2j-i+n2k-i2m+4n,可得mn m+2n,即 + 1. 当1m2时,不等式 + 1不成立; 当 或 时,2mn2i-1=m2j-1+n2k-I成立,此时,m+n=6;,当n4时, 0, 2,则有m+n6. 所以m+n的最小值为6,当且仅当j-i=1,k-i=2 且 或 时取得. (3)证明:由题意得:p2= + c2,p3= + c3,pn= (c1+c2+cn-1)+ cn,又p1=c1,则Sn=p1+p
5、2+p3+pn= (c1+c2+c3+ cn)= Tn. Tn=c1+c2+c3+cn, ,Tn= c1+ c2+ cn, ,-得 Tn=1+ + + + - =2-2 -n , 求得Tn=4-(n+2) 1),则f (x)= - = 0, 所以f(x)在(1,+)上单调递增,有f(x)f(1)=0,可得ln x1- .当k2,且kN*时, 1,有ln 1- = ,所以 ln , ln , ln ,可得1+ + + 1+ln =1+ln n,所以Sn4 4(1+ln n),即Sn4+4ln n.【方法归纳】 数列是一 种特殊的函数,不仅等差数列的最值问题可以利用函数的性质来解决,其他数 列的最
6、值问题也可以借助函数的性质解决.,题型二 数列中的新定义问题,例2 (2018南京高三第三次模拟)若数列an满足:对于任意nN*,an+|an+1-an+2| 均为数列an中的项,则称数列an为“T数列”, (1)若数列an的前n项和Sn=2n2,nN*,求证:数列an为“T数列”; (2)若公差为d的等差数列an为“T数列”,求d的取值范围; (3)若数列an为“T数列”,a1=1,且对于任意nN*,均有an - an+1,求数列 an的通项公式.,解析 (1)证明:当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2.,又a1=S1=2=41-2,所以an=4n-2.所以an+
7、|an+1-an+2|=4n-2+4=4(n+1)-2为数列an 的第n+1项,因此数列an为“T数列”. (2)因为数列an是公差为d的等差数列,所以an+|an+1-an+2|=a1+(n-1)d+|d|. 因为数列an为“T 数列”, 所以任意nN*,存在mN*,使得a1+(n-1)d+|d|=am,即有(m-n)d=|d|. 若d0,则存在m=n+1N*,使得(m-n)d=|d|; 若d0,则m=n-1. 此时,当n=1时,m=0不为正整数,所以d0不符合题意.综上,d0. (3)因为anan+1,所以an+|an+1-an+2|=an+an+2-an+1.,又因为an0),则有an=
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