江苏省2019高考数学二轮复习第16讲利用导数研究函数的单调性极值与最值课件201903024224.pptx
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1、第16讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值,第16讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 1.若函数f(x)=ax3-12x+a的单调递减区间为(-2,2),则实数a= .,答案 1,解析 f (x)=3ax2-120的解集是(-2,2),则a=1.,2.已知x=0是函数f(x)=(x-2a)(x2+a2x+2a3)的极小值点,则实数a的取值范是 .,答案 (-,0)(2,+),解析 f (x)=3x2+(2a2-4a)x=3x ,由x=0是函数的极小值点得 2或a0.,3.若函数f(x)=ln x- x+ 在区间(1-a,2a)上单调递减,则实数a的取值范是 .,答案,解析 函数f(x
2、)的定义域为(0,+),则03,则f(x)的减区间为(0,1),(3,+), 则(1-a,2a)(0,1), a .,4.定义在区间 上的函数f(x)=8sin x-tan x的最大值为 .,答案 3,解析 f (x)=8cos x+ = ,令f (x)=0, 得cos x= ,x ,x= ,且x , f (x)0, f(x)递增,x , f (x)0, f (x)递减,所以x= 是极大值点,也是最大值点,故f(x)max=f =3 .,题型一 导数与函数的单调性,例1 (2018盐城高三模拟)若对任意实数k,b都有函数y=f(x)+kx+b的图象与直 线y=kx+b相切,则称函数f(x)为“
3、恒切函数”.设函数g(x)=aex-x-pa,a,pR. (1)讨论函数g(x)的单调性; (2)已知函数g(x)为“恒切函数”. 求实数p的取值范围; 当p取最大值时,若函数h(x)=g(x)ex-m也为“恒切函数”,求证:0m . (参考数据:e320),解析 (1)g(x)=aex-1, 当a0时,g(x)0时,由g(x)=0得x=-ln a,由g(x)0得x-ln a,由g(x)0,p= (1-x0),设m(x)=ex(1-x), 则m(x)=-xex,由m(x)0,由m(x)0,得x0, 故m(x)在(-,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,从而m(x)max=m(0)=1, 故
4、实数p的取值范围为(-,1. 当p取最大值时,p=1,x0=0,a= =1, 则h(x)=(ex-x-1)ex-m, h(x)=(2ex-x-2)ex,因为函数h(x)也为“恒切函数”, 故存在x0,使得h(x0)=0,h(x0)=0, 由h(x0)=0得(2 -x0-2) =0,即2 -x0-2=0,设n(x)=2ex-x-2, 则n(x)=2ex-1,由n(x)0,得x-ln 2,由n(x)0, n =2 - 2 - = - 0,又n(x)的图象在(-,-ln 2)上不间断, 故在区间 上存在唯一的x0,使得2 -x0-2=0,故 = ,此时由h(x0)=0, 得m=( -x0-1) =,
5、=- x0(x0+2)=- + , 函数r(x)=- (x+1)2+ 在 上递增,r(-2)=0,r = ,故0m .综上所 述,0m .,【方法归纳】 与单调性有关的两类问题的求解策略:若求单调区间(或 证明单调性),则只要在函数定义域内解(或证明)不等式f (x)0或f (x)0,xD有解,再利用分离参数或者直接利用函数最值求 解.,1-1 已知函数f(x)=ln x,g(x)= ax2+2x,a0. (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在1,4上单调递减,求a的取值范围.,解析 (1)h(x)=ln x- a
6、x2-2x,x(0,+), 所以h(x)= -ax-2. 因为h(x)在(0,+)上存在单调递减区间, 所以当x(0,+)时, -ax-2 - . 设G(x)= - (x(0,+),所以只要aG(x)min即可. 而G(x)= -1,所以当x(0,+)时,G(x)min=-1,所以a-1且a0. (2)因为h(x)在1,4上单调递减, 所以x1,4时,h(x)= -ax-20恒成立, 即当x1,4时,a - 恒成立,所以aG(x)max. 对于G(x)= -1.因为x1,4,所以 , 所以G(x)max=G(4)=- ,所以a- . 当a=- 时,h(x)= + x-2= .,x1,4,h(x
7、)= 0, 即h(x)在1,4上为减函数. 故实数a的取值范围是a- 且a0.,题型二 导数与函数的极值,例2 (2018扬州高三考前调研)已知函数f(x)=ln x-x+ ,g(x)= (其中a为参 数). (1)若对任意xR,不等式g(x)-b0恒成立,求实数b的取值范围; (2)当a= 时,求函数f(x)的单调区间; (3)求函数f(x)的极值.,解析 (1)由题意知对任意xR,bg(x)恒成立,对g(x)求导得g(x)= ,令g(x) =0,则x=1, g(x),g(x)随x的变化情况如下表:,故g(x)max=g(1)= ,所以b . (2)f(x)的定义域为(0,+),其导函数为f
8、 (x)= ,当a= 时, f (x)= , 由(1)知 ,即ex-1-x0,当且仅当x=1时取等号, 令f (x)=0,则x=1, f (x), f (x)随x的变化如下表:,所以f(x)的单调增区间为(1,+),单调减区间为(0,1). (3)f (x)= (x0),由(1)知 ,又 0,故0 ,下面讨论处 理: 当a0时,a- 0,此时f(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减, 所以f(x)极大值=f(1)=ae-1,无极小值; 当a 时,a- 0,此时f(x)在(0,1)上递减,在(1,+)上递增, 所以f(x)极小值=f(1)=ae-1,无极大值;,当00,(1)=a- 0时,
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