浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时52.3函数的奇偶性与周期性课件201903122300.pptx
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1、 2.3 函数的奇偶性与周期性,教材研读,1.函数的奇偶性,2.奇(偶)函数的性质,3.周期性,4.周期函数常用的三个结论,考点突破,考点一 函数奇偶性,考点二 函数图象的对称性,考点三 函数周期性,考点四 函数性质的综合应用,1.函数的奇偶性,教材研读,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性 相反 . (3)在相同定义域内, (i)两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是 偶函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是 偶函数 . (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函
2、数 .,(4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.,知识拓展 与函数奇偶性相关的结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种,即f(x)=0,xD,其中定义域D 是关于原点对称的非空数集. (3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自 变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数, 取最值时的自变量也互为相反数.,3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(
3、x)为周期函 数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,4.周期函数常用的三个结论 (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|; (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|; (3)若f(x+a)=- ,则函数的周期为2|a|.,知识拓展 与函数周期相关的其他结论 (1)若f(x+a)= ,则函数的一个周期为2|a|; (2)若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,那么函数f(x)的一个周期为2|b-a|; (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)
4、对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的一个周期为2|b-a|; (4)若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的,一个周期为4|b-a|; (5)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则函数f(x)的周期为2|a|; (6)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则函数f(x)的周期为4|a|.,1.(教材习题改编)函数f(x)= 的大致图象为 ( D ),解析 因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且在(0,+)上为减函 数,所以排除B、C. 又因为f(-x)= = =f(x), 所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称
5、,排除A,故选D.,2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( D ) A.y=x+1 B.y=-x3 C.y= D.y=x|x|,解析 y=x+1是非奇非偶函数;y=-x3是减函数;y= 在(0,+)上为减 函数;y=x|x|为奇函数,当x0时,y=x2为增函数,由奇函数性质得y=x|x|在R 上为增函数,故选D.,3.设函数f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,且满足f(x)+g(x)= x3-x2+1,则f(1)= ( B ) A.-1 B.1 C.-2 D.2,解析 f(1)+g(1)=1, f(-1)+g(-1)=-f(1)+g(1)=-1,两式相减并化简得f(1)
6、=1.,4.已知f(x)是定义在m,4m+5上的奇函数,则m= -1 ,当x0时, f(x)= lg(x+1),则当x0时, f(x)= -lg(1-x) .,解析 由奇函数的定义区间关于原点对称可知m+4m+5=0,解得m=-1.当 x0,此时f(-x)=lg(-x+1)=-f(x),故f(x)=-lg(1-x),即当x0时, f(x)=-lg(1 -x).,函数奇偶性 命题方向一 函数奇偶性的判定 典例1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3- ; (2)f(x)= + ; (3)f(x)=,考点突破,解析 (1)原函数的定义域为x|x0,关于原点对称, 并且对于定义域内的任意一个
7、x都有 f(-x)=(-x)3- =- =-f(x), 所以函数f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称, 且f(-1)=f(1)=0, f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)f(x)的定义域为R,关于原点对称,当x0时, f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x0时, f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时, f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.,规律方法 判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法,(2)图象法 f(x)的图象 (3)性质法 设f(
8、x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇= 奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 提醒 (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立 的.,(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各 段上的x都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.,典例2 (1)已知函数f(x)= 的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx 是偶函数,则logab= ( B ) A.1 B.-1 C.- D. (2)已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时, f(x)=1+2x-x2,则函数f(x)的解 f(x)= 析式是 .,命
9、题方向二 函数奇偶性的应用,解析 (1)由题意得f(0)=0,a=2. g(x)是偶函数,g(1)=g(-1), ln(e+1)-b=ln +b, b= ,logab=log2 =-1.故选B. (2)设x0,f(x)是奇函数,f(-x)=1-2x-x2=-f(x), 即x0时, f(x)=-1+2x+x2, 又易知f(0)=0, f(x)=,规律总结 已知函数奇偶性可以解决的4个问题 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性 求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=
10、0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得出参数的方程或方程(组),进而得出参数的值.,(4)画函数图象:利用奇偶性可画出对称区间上的图象.,1-1 (2015课标全国理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则 a= 1 .,解析 由已知得f(-x)=f(x), 即-xln( -x)=xln(x+ ), 则ln(x+ )+ln( -x)=0, ln( )2-x2=0, 得ln a=0,a=1.,1-2 已知函数f(x)=asin x+bx3+x2-x+2,且f(2)=4,则f(-2)= 8 .,解析 令g(x)=asin x+bx3, 易知g(x)为奇函数, g(x)=-g(-
11、x),又 f(-2)+f(2)=g(2)+g(-2)+12=12, f(2)=4,f(-2)=8.,1-3 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= + ; (2)f(x)=,解析 (1)因为函数f(x)= + 的定义域为 ,不关于坐标原 点对称, 所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)易知函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称. 当x0时, f(x)=x2+x,则当x0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 当x0时,-x0, 故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.,典例3 (1)已知定义域为R的函数f(x)在(8,+)上为减函数,且函数y=f(
12、x +8)为偶函数,则 ( D ) A.f(6)f(7) B.f(6)f(9) C.f(7)f(9) D.f(7)f(10) (2)已知函数f(x)= ,其图象关于点(-3,2)对称,则f(2)的值是 .,函数图象的对称性,解析 (1)由y=f(x+8)为偶函数可知y=f(x)的图象关于直线x=8对称,而y=f (x)在(8,+)上是减函数,则在(-,8)上为增函数,故选D. (2)因为函数f(x)= =a+ , 所以函数的对称中心为(b,a). 又因为函数f(x)= ,其图象关于点(-3,2)对称, 所以a=2,b=-3. 所以函数f(x)的解析式为f(x)= ,所以f(2)= = .,规律
13、方法 (1)若函数满足f(x+t)=f(t-x)(或f(x)=f(2t-x),则函数关于直线x=t对称,若函数满足f(x+2t)=f(x),则函数f(x)以2t(t0)为周期. (2)若函数y=f(x)的对称中心为(a,b),根据函数y=f(x)图象上任意点关于该对称中心的对称点也在此函数图象上,利用恒等式求解.,2-1 (2019温州中学月考)用mina,b表示a,b两数中的最小值.若函数f (x)=min|x|,|x+t|的图象关于直线x=- 对称,则t的值为 ( D ) A.-2 B.2 C.-1 D.1,解析 由于函数f(x)的值是两个函数y1=|x|,y2=|x+t|的值中的较小者,
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