浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时62.4二次函数和幂函数课件201903122303.pptx
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1、 2.4 二次函数和幂函数,教材研读,1.幂函数,2.二次函数,考点突破,考点一 二次函数的解析式,考点二 二次函数的图象与性质,考点三 二次函数的综合问题,考点四 幂函数的图象与性质,1.幂函数 (1)定义:形如 y=x(R) 的函数称为幂函数,其中底数x是自变量, 为常数.常见的五类幂函数为y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1. (2)性质 a.幂函数在(0,+)上都有定义; b.当0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上单调递增; c.当0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+)上单调递减.,教材研读,2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f(
2、x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种表示形式 a.一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0) ; b.顶点式: f(x)=a(x-h)2+k(a0) ; c.两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0) . (3)二次函数的图象和性质,(4)若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x1)=f(x2),则图象关于直 线 x= 对称;若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+m)=f(- x+n),则图象关于直线 x= 对称.,1.(教材习题改编)下图是y=xa;y=xb;y=xc在第一象限的图象,则a,b,c 的大
3、小关系为 ( D ),A.cba B.abc C.bca D.acb,2.函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x(0,+)上为增函数,则实数m的 值是 ( B ) A.-1 B.2 C.3 D.-1或2,3.(2018浙江温州高三月考)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)0,f(p)0 B.f(p+1)0 C.f(p+1)=0 D.f(p+1)的符号不能确定,4.(教材习题改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点 ,则此函数的解析 式为 y= ;在区间 (0,+) 上递减.,5.已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上具有单调性,则实数a的取值范围 是 (-,12,+)
4、 .,二次函数的解析式 典例1 已知二次函数f(x)满足 f(3)=f(-1)=-5,且f(x)的最大值是3,求函数f (x)的解析式.,考点突破,解析 设f(x)=ax2+bx+c(a0), 依题意得 解得 所以二次函数的解析式为f(x)=-2x2+4x+1.,方法指导 在求二次函数的解析式时,要灵活地选择二次函数解析式的表达形式: (1)已知三个点的坐标,应选择一般式; (2)已知顶点坐标或对称轴与最值,应选择顶点式; (3)已知函数图象与x轴的交点坐标,应选择两根式.,1-1 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR)满足条件:当xR时, f(x- 4)=f(2-x),且f(
5、x)x;当x(0,2)时,f(x) ;f(x)在R上的最小值 为0. (1)求f(x)的解析式; (2)求最大的m(m1),使得存在tR,只要x1,m,就有f(x+t)x.,解析 (1)由f(x-4)=f(2-x)知,对称轴为直线x=-1,由知开口向上,即a0, 又最小值为0,故f(x)=a(x+1)2,由知f(1)1;由知f(1) =1,故f(1) =1,代入得a= ,所以f(x)= (x+1)2. (2)由题意知,在区间1,m上函数y=f(x+t)的图象恒在直线y=x的下方,且m 最大,故1和m是关于x的方程 (x+t+1)2=x(*)的两个根,将x=1代入(*),得t= 0或t=-4,当
6、t=0时,方程(*)的解为x1=x2=1(这与m1矛盾).当t=-4时,方程(*) 的解为x1=1,x2=9,所以m=9.又当t=-4时,对任意x1,9,恒有(x-1)(x-9)0, (x-4+1)2x,即f(x-4)x,所以m的最大值为9.,典例2 已知函数y=ax2+bx+c,如果abc,且a+b+c=0,则它的图象可能是 ( D ),二次函数的图象与性质 命题方向一 二次函数图象识别问题,解析 由abc,且a+b+c=0,得a0且c0,所以f(0)=c0,所以函数y=ax2+ bx+c的图象开口向上,且与y轴的交点在y轴的负半轴上,故选D.,规律总结 识别二次函数图象,主要根据开口方向(
7、a的正负)和图象上的特殊点以 及图象反映出来的函数性质进行判断,必要时,要根据不同情况进行分 类讨论.,典例3 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6. (1)求使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数的实数a的取值范围; (2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.,命题方向二 二次函数的单调性问题,解析 (1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=- =-a, 要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6. 故a的取值范围是(-,-64,+). (2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3 = 其图象如图所示.,x-4,6,f
8、(|x|)在区间-4,-1)和0,1)上为减函数,在区间-1,0)和1,6 上为增函数.,探究1 若函数f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数,求a的取值范围.,解析 f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数, -a-4,即a4.,探究2 若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+),求a为何值.,解析 f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+), -a=-4,即a=4.,典例4 设函数f(x)=x2-2x,x-2,a(a-2),若函数的最小值为0,则a= 0 .,命题方向三 二次函数的最值问题,解析 f(x)=x2-2x=(x-1)2-1, 当a1时,
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