趋势曲线模型预测.ppt
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1、趋势曲线模型预测,第一节 多次式曲线模型预测法,第三章所谈及的回归分析,是在已知统计资料基础上,利用线性或非线性回归技术进行模拟,利用趋势外推进行预测,而模型的项数均为常数项加一次项或非线性构成。事实上,若采用多项式进行模拟,也是一种行之有效的方法。,一正规方程组 所谓多项式回归,就是已知统计资料给出,当预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模拟时,利用一元非线性回归技术,来作出模拟并用于预测。 设实际值为(xi,yi),为方便多项式次数测定,数据选取xixi1 = x = C,模型模拟值为(xi, ) 就有 = f(x) = a0 + a1x + a2x + amx. 显然,这是一个m次多项
2、式,同时假定已知数据为n组:(xi,yi) i = 1,2,n.,2,m,假定y与x是相关的,对应任意的yi,都有yi 且ei = yi 由回归分析,最佳拟合为 Q = ei2 = Q min 利用最小二乘法,对系数求偏导数,有 (Q/ak) = 0 2ei(ei)ak = 0 其中 k = 0,1,2,3,m 因为ei = yiyi = yi a0 a1x akxikamxim 所以有:(yi a0 a1x1- amxim)(-xik)= 0 得 yi xik =a0 xik +a1 xi(k+1)+amxik+m,令,可建立m+1个方程组成的正规方程组: s0a0+s1a1+smam =
3、u0 (k = 0) s1a0+s2a1+sm+1am = u1 (k = 1) : : : : sma0+sm+1a1+s2mam = um (k = m) 记为矩阵式: s0 s1 s2 sm a0 u0 s1 s2 s3 sm+1 a1 u2 sm sm+1 s0 s2m am um 记为S 记为 A 记为 U 则:U = SA A = S(-1) U = 1/|S| S*U 有唯一解,故a0,a1,am可唯一求出,于是预测方程可以求得。 2004/11/1,=,二、案例 某地1972-1979工业产值统计资料如表,企业多项式模型,并预测1980、1981年工业产值 年 1972 197
4、3 1974 1975 1976 1977 1978 1979 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 产值 7.54 8.76 8.23 9.92 10.65 11.65 12.56 13.78 解:(1)描点,观察,做趋势图。 由图所示,用二次曲线描述合理。 即预测模型可取为 y = a0+a1x+a2x,2,(2)由正规方程组U = SA,求A = S(-1) U Sk =Xik i = 1,2,8. K = 0,1,2,3,4. S0 = xi =8; S1 = xi =36; S2 = xi =204; S3 = xi =1296; S4 = xi =8772 8 36 204 S =
5、 36 204 1296 204 1296 8772,0,1,2,3,4,8 36 204 -1 83.09 A = S(-1)U = 36 204 1296 410.74 204 1296 8772 2458.38 1.9464 -0.9013 0.0893 83.09 = -0.9107 0.5100 -0.0536 410.74 0.0893 -0.0536 0.006 2458.38 7.1602 = 0.4447 0.0480 故 预测模型 y = 7.1602 + 0.4447x + 0.0480 x2,1980:x = 9 y9 = 7.1602 + 0.44479 + 0.04
6、8092 = 15.0505 1981:x = 10: y10 = 7.1602 + 0.444710 + 0.0480102 = 16.4072 绝对误差 相对误差 与实际值比较:1980年为14.77 0。2809 1。9% 1981年为15.64 0。7672 -4。9%,三、 拟合多项式的次数确定 1、作图法 利用实际数据,选择合适坐标,采用图上打点, 观察打点曲线,并选择一条比较合用的多项式趋势线。 若趋势线出现拐点: 由拐点定义,若出现一个拐点,至少应用3次多项式拟合; 若出现k个拐点,至少应用k+2次多项式拟合。,2.差分判断法 差分定义:当自变量呈等距分布时,即 xi = xi
7、-1 + x 则 yi = yi yi-1 =f(xi)- f(xi-1) 称为当 x 从xi-1变到xi时,yi 的一阶差分。 所有更高阶的差分由进一步的差分得到: 二阶差分 2yi =(yi ) =(yi yi-1) =yi - yi-1 = (yi yi-1) - (yi-1 yi-2 ) = yi -2 yi-1 + yi-2,可类推至 yi 的k阶差分 k yi =(k-1 yi ) = = 差分对多项式判断中的应用 例:含线性趋势确定性时间序列数据(yt=2t) t 0 1 2 3 4 5 yt 0 2 4 6 8 10 一阶差分 2 2 2 2 2 二阶差分 0 0 0 0,例:
8、二次曲线 y = ax2 + bx + c x 0 1 2 3 4 5 yt c a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c 16a+4b+c 25a+5b+c 一 阶差分 a+b 3a+b 5a+b 7a+b 9a+b 二阶差分 2a 2a 2a 2a 三阶差分 0 0 0 由此可得出判据 若一批自变量为等距分布的数据,经 n次差分之后,形成常数或差分后在某一定值上下波动,则可用n次多项式拟合此批数据变动趋势。 3. 在利用数据确定曲线时,要排除偶然发生的那一类数据。,第二节 成长曲线预测模型,一. Gompertz曲线 成长曲线主要应用两个原则:相似性原则与延续性原则 决定过去技术发展的因
9、素,很大程度的也将决定未来的发展,条件是不变的或变化不大的; 发展过程属于渐进的,影响过程的规律不发生突变; 增长曲线即生命周期与生物生长过程相似 孕育出生成长成熟老化死亡 发明定型推广成熟老化淘汰,1.经验公式 ,有三个系数K,a, b(双层指数) 取常用对数lg yt =lgK + bt lg a 2.参数k,a,b的确定(三和法) 假定有若干原始数据,取t = 1,t = 1,2,3,.3n且满足 即:lg yt =lgK + bt lg a,排列成表如下 t 1 2 3 n lg yt lg y1 lg y2 lg y3 lg yn n+1 n+2 n+3 2n lg yn+1 lg
10、yn+2 lg yn+3 lg y2n 2n+1 2n+2 2n+3 3n lg y2n+1 lg y2n+2 lg y2n+3 lg y3n 共有3n个数据,平均分为3组,,第一组,第二组,第三组,第一组:求和: = nlg K + ( b1 + b2 + bn )lg a 第二组:求和: lg yt = nlg K + ( bn+1 + bn+2 + b2n )lg a 第三组:求和: lg yt = nlg K+( b2n+1 + b2n+2 + b3n )lg a -: lg yt- lg yt = bn (b+ b1 + b2 + bn )( bn - 1)lg a 4 -: lg
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