《4. 数值分析简介.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《4. 数值分析简介.ppt(121页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、数值分析简介,计算方法,计算方法(数值分析)基础,非线性代数方程的求根 插值 数值微分 数值积分 线性方程组 非线性方程组求解 常微分方程数值解 偏微分方程数值解 Monte Carlo方法,数值分析基本方法,无限 有限 微分 代数 非线性 线性 复杂 简单,近似,科学计算中的近似,计算之前 模型误差 测量误差 上一步计算误差 计算过程中 截断或离散误差 舍入误差 最后结果包含所有误差 初始数据误差可能被问题本身放大 计算过程中的扰动可以被算法放大,例:计算地球表面积,球形近似 经验测量的半径 输入数据(半径、 )在计算机中被舍入,绝对误差与相对误差,绝对误差: 相对误差:,估计,近似值,截断
2、误差与舍入误差,截断误差 真实结果 采用精确算术运算的数值算法结果 舍入误差 精确算术运算的数值算法结果 有限精确算术运算的相同数值算法结果 数值误差包括这两者,病态,条件数,病态(敏感性):初始数据较小的变化导致结果很大的变化 条件数:,算法稳定性,精度,稳定算法:结果对计算过程中的扰动不敏感。 精度:接近真实值的程度,算法稳定性,问题本身的刚性程度,精度,插 值,插 值,函数f,插值应用,许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数数据表格),可是,从一个只提供离散的函数值去进行理论分析和进行设计,是极不方便的, 甚至是不可能的。因此需要设法去寻找与已知函数值相符,并且形式简单的插
3、值函数(或近似函数)。,另外一种情况是,函数表达式完全给定,但其形式不适宜计算机使用,因为计算机只能执行算术和逻辑操作,因此涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法等,都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。,插值函数构造方法,基函数:,线性方程组:,插值函数存在性与唯一性条件:,插值函数类型,多项式 分段多项式 三角函数 指数函数,多项式插值,单项插值 Lagrange插值 Newton插值,单项插值,基函数:,插值函数:,n = 2: 线性插值,Lagrange插值,基函数:,单位矩阵:,插值函数:,Newton插值,基函数:,
4、下三角矩阵:,插值函数:,分段多项式插值,Runge现象:并不是插值多项式的次数越高, 插值效果越好, 精度也不一定是随次数的提高而升高,分段线性插值,基函数:,分段多项式插值,Hermite插值 三次样条插值 B-样条插值,插值在CFD中的应用,插值vs.曲线拟合,插值函数精确满足数据点 插值函数不适于存在较大误差的数据 曲线拟合(最小二乘法)用于过滤数据的随机误差,曲线拟合与最小二乘法,数值积分与数值微分,数值积分,n,积分定义,数值积分,简单数值积分公式,中值公式:,梯形公式:,Simpson公式:,多项式插值,误差估计,积分公式,复合积分 自适应积分 Gaussian积分 龙贝格(Ro
5、mberg)积分,数值微分,微分:本身是个病态程度比较大的问题。,积分vs.微分,有限差分近似,前差:,后差:,中心差:,线性方程组,线性系统性质:奇异性,非奇异条件:,A1存在 det(A) 0 rank(A) = n 对任意向量z 0, Az 0,线性系统性质:存在与唯一性,线性系统性质:范数(Norm),表示向量或矩阵的大小 衡量线性系统的病态程度和解的误差,向量范数:,矩阵范数:,线性系统性质:条件数,对向量的最大拉伸与最大压缩之比,奇异矩阵:,线性系统性质:条件数,衡量线性系统的病态程度,残差,是Ax = b的近似解,对于非病态系统,残差越小精度越高,Fluent中的残差,压力解算器
6、,离散,密度解算器,连续方程:,非线性方程组,线性方程组求解,直接方法 Gaussian消元 LU分解 迭代方法,三角阵,直接方法:三角阵,Gaussian消元法,Gaussian消元法,称为主元,Gaussian消元算法实现,LU分解,Gaussian消元,LU分解,选主元,例1:,例2:,特殊线性系统,对称矩阵: 正定矩阵: 带矩阵: 稀疏矩阵,为带宽,对称正定线性系统,Cholesky分解,例:,对称不定线性系统,带矩阵,对微分方程的离散通常产生带矩阵 CFD中选取离散格式尽量能生成带矩阵 Gaussian消元算法的循环范围大大缩小 以对角线作为向量存储,带宽为,的带矩阵 所需存储空间,
7、所需计算量,全矩阵,三对角矩阵,线性方程组迭代解法,简单迭代,收敛条件:,线性方程组迭代解法,Jacobi 方法,线性方程组迭代解法,Gauss-Seidel方法,线性方程组迭代解法,Gauss-Seidel方法:逐次超松弛(SOR),超松弛:01,系数 称为松弛因子。为保证迭代收敛,要求02,亚松弛:12,线性方程组迭代解法,对称正定矩阵的共轭梯度法( Conjugate Gradient ),求极小值:,线性方程组迭代解法,多重网格法,偏微分方程,网格,离散、线化,线性代数方程组,多重网格之间插值、迭代,迭代收敛准则,相邻迭代步所得解之差,残差,稀疏矩阵,对微分方程的离散通常产生带矩阵 稀
8、疏矩阵求解往往是资源瓶颈 采用特殊数据结构,利用稀疏性,减小内存需求和计算量,Fluent中的稀疏矩阵,有限体积离散,非线性代数方程组,线化,Gauss-Seidel迭代,多重网格法,求解,直接法vs.迭代法,初始猜测 精度 迭代收敛性、计算量 矩阵存储 直接法易于标准化 LINPACK LAPACK BLAS,计算量比较(k*k二维网格),非线性方程组,例,解的存在性与唯一性,非线性系统的病态程度,条件数,对于,对于,Cond=,Cond=,二分法,简单迭代法,牛顿迭代,线性方程:,弦截法,线性插值,非线性方程组求解,简单迭代法 牛顿迭代 弦截法,CFD中的Picard迭代,收敛较牛顿迭代慢
9、 和多重网格法结合,CFD中的亚松弛迭代,外循环:,A和Q可能包含,为上面线性方程组的解 一般采用迭代方法求解(内循环),Fluent中的亚松弛方程,Solve-Controls-Solution,收敛准则,相邻迭代步所得解之差,残差,Fluent迭代收敛准则,压力解算器,密度解算器,至少下降3个量级 能量方程残差下降6个量级(基于压力的算法) 组分方程残差下降5个量级,连续方程:,外循环残差:,Fluent迭代收敛准则,常微分方程(ODEs),初值问题(IVP),微分方程,常微分方程(ODE): 只有一个独立变量 微分方程的解是无限维函数空间的函数 数值解:有限近似,以代数方程代替微分方程,
10、常微分方程的阶数,最高阶导数的阶数 高阶ODE可以化为一阶ODEs ODE程序都是针对一阶ODEs,初值问题,唯一解,解的稳定性,稳定 渐近稳定 不稳定,ODE数值解,欧拉方法 Runge-Kutta 多步法 多值法,欧拉方法,截断误差 1阶精度,数值稳定性,精确解,欧拉方法:,稳定性条件:,Fluent时间步长设定:Courant number,Define - Models - Solver. , Density based Solve - Controls - Solution.,时间步长选取(欧拉方法),稳定性 精度,隐式方法,隐式欧拉方法:,显式欧拉方法:,稳定性:,精确解,无条件稳
11、定,隐式方法,刚性微分方程组,特征时间尺度相差很大 Jacobian矩阵的特征值相差很大,Runge-Kutta法,二阶Runge-Kutta,四阶Runge-Kutta,多步法,显式:,隐式:,可变精度/可变步长算法,根据问题自动选择精度等级和步长 自动识别刚性方程组,选择相应算法 易于自启动,常微分方程(ODEs),边值问题(BVP),边值问题(BVP),初值问题的定解条件都在一边,t0 边值问题的定解条件是多边的 最常见的是两点边值问题,存在与唯一性,IVP:从初值开始逐步顺次求解 BVP:全域同时求解 存在与唯一性不确定,无穷多解,无解,存在与唯一性,线性边值问题,Green函数,边值
12、问题数值解法,打靶法 有限差分法 搭配法 Galerkin方法,打靶法,有限差分,BVP - 代数方程,配点法(Collocation),基函数线性组合近似BVP真实解,常用基函数 多项式 三角函数 B-样条,谱方法,有限元方法,待求,配点法(Collocation),组合系数的确定,取搭配点:,令,在搭配点上满足ODE,Galerkin方法,最小化残差,待求,Galerkin方法,加权残差法,最小化,Galerkin方法:,偏微分方程(PDEs),偏微分方程,偏导数 多个自变量 性质 初值问题 边值问题 混合,例,PDE分类,PDE阶数:最高阶偏导数的阶数 二阶PDE:,PDE分类,二阶线性
13、PDE,PDE分类,PDE数值解,半离散 全离散,半离散方法,半离散方法,Method of lines,半离散方法,刚性, 特征值 0,-0,刚性变强,全离散方法,时间空间全离散 初值问题:时间推进算法 时间步长和空间步长共同决定精度 时间步长和空间步长不能独立设定:算法稳定性,全离散,离散误差(截断误差):,稳定性,全离散 欧拉方法应用于半离散的导热方程, 特征值 0,稳定性条件:,Fluent时间步长设定:Courant number,Define - Models - Solver. , Density based Solve - Controls - Solution.,隐式全离散,无条件稳定,隐式全离散,Crank-Nicolson方法,二阶精度,无条件稳定,数值算法收敛性,相容性:截断误差随步长趋于0 稳定性:误差不被放大 Lax等价定理:对于适定的问题,相容与稳定是收敛的充要条件,CFL条件,对于双曲问题,要保证算法稳定,差分方程的依赖区必须覆盖PDE的依赖区(由特征线决定),CFL稳定条件:,稳态问题,椭圆PDE,定解只需边界条件 不需时间推进 所有网格格点同时求解,
链接地址:https://www.31doc.com/p-4335083.html