5. 计算流体力学基础(一).ppt
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1、计算流体力学,CFD基本要素,数学模型 离散方法 坐标系 计算网格 有限近似 求解方法 收敛准则,CFD方法性质,方程的相容性(Consistency) 数值算法的稳定性 解的收敛性 Lax等价定理 守恒性 有界性 模型的可实现性 精度 模型误差、离散误差、迭代误差,离散方法,有限差分 有限元 有限体积,有限差分,有限差分基本思想,结构化网格:,微分-差分:,有限差分:Taylor级数展开,截断误差:,FDS:,BDS:,CDS:,有限差分:多项式插值,迎风(Upwind)格式,二阶CDS:,均匀网格高阶格式:,非均匀网格,截断误差 网格尺寸*导数,误差均匀分布,节点数给定,非均匀网格可使误差
2、降到最小:网格自适应,非均匀网格:加密与截断误差,CDS:,CDS均匀网格:,一阶,二阶,对非均匀网格进行系统加密可以达到与均匀网格同样的收敛速度:,非均匀网格:加密与截断误差,加密方法 简单二分法 固定增长因子,非均匀网格:加密与截断误差,非均匀网格CDS (一阶)收敛速度:,均匀网格:,对非均匀网格进行系统加密可以达到与均匀网格同样的收敛速度:,离散格式精度(阶数)的含义,当x0(即对网格不断加密)时,截断误差减小的程度(收敛速度)。 高阶格式的优势是在网格不断加密的过程中体现出来的,所以: 只有在网格足够密时,高阶格式才具有与之相称的高精度。,均匀网格二分加密:,二阶导数差分格式构造方法
3、,对一阶导数差分,二阶导数差分格式构造方法,Taylor级数展开:量 ,,一阶,二阶导数差分格式构造方法,多项式插值,五点四次多项式插值:,格式精度等于插值次数减一 偶数次插值、均匀网格:精度加一,三点二次多项式插值:,二阶导数差分格式,扩散项处理:,高精度格式,高精度格式需要更多节点 方程更难求解 边界条件更难处理 二阶格式常用,耗散与色散,耗散,耗散只存在于对流项的一阶离散格式 正比于网格步长,数值扩散系数数,网格Peclet数与网格Reynolds数,数值耗散不能大于物理耗散:,数值扩散系数数,或,色散,CDS approximation of a wave:,差分格式只能正确模拟低频分
4、量(相对于kmax),色散关系:,色散与振荡,网格较粗时产生较大的虚假低频分量 一阶格式的强耗散抹平了振荡,UDS,CDS,经典差分格式及其性质,精确解,Lax 格式,Leap-Frog,Lax-Wandrof,FTBS,稳定条件,经典差分格式及其性质,Beam-Warming,流通矢量分裂,Roe格式,经典差分格式性质比较,,精确解,经典差分格式性质比较,,精确解,边界条件差分格式,边界附近的差分可能要用到边界之外的节点 如果不降低精度,需采用不同的差分格式,偏微分方程边界条件:,1、Dirichlet问题,2、Neumann问题,3、Robin问题,四次多项式插值:,边界导数差分格式,FD
5、S:,内部节点三次插值:,离散后的代数方程,微分方程,有限差分,代数方程,计算网格单元与节点存储,代数方程组,合适的节点排序,稀疏矩阵 带矩阵,离散误差,微分方程真实解,截断误差,离散方程真实解,离散误差,线性问题:,离散误差估计与Richardson外插,网格足够细 单调收敛,Richardson外插:,有限体积法,有限体积法基本思想,nodes centered in CVs,CV faces centered between nodes,保证守恒性,数值积分,代数方程,Well-conditioned,面积分计算,面积分计算,面积分计算,两步近似 数值积分 被积函数近似:插值 数值积分方
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