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1、计算流体力学,代数方程求解,线性方程组求解,结构网格:,线性方程组求解,直接方法 Gaussian消元 LU分解 特殊系统 三对角阵TDMA Cyclic reduction 迭代方法,Gaussian消元,稀疏线性方程组求解:迭代方法,迭代n次,残差,迭代误差,迭代算法:,收敛问题,迭代误差方程:,特征方程,构成完备空间,1,收敛条件:,谱半径,越小收敛越快,要求M A,基本迭代算法,Jacobi方法 Gauss-Seidel 逐次超松弛Gauss-Seidel,不完全LU分解(ILU),LU分解性能好,但不能利用矩阵稀疏性 M接近A时,收敛很快,稀疏矩阵,小矩阵,Stone方法 利用椭圆P
2、DE解的平滑性 L和U只计算一次 收敛很快 其它迭代方法的基础,交替方向隐式(ADI)迭代,Crank-Nicolson,共轭梯度(CG,Conjugate Gradient)法,基于非线性方程解法 类牛顿法;收敛快,但需合适的迭代初值 全局方法:保证收敛,但速度慢,求极小值:,Fluent中的线性代数方程组求解,有限体积离散,Gauss-Seidel迭代,多重网格法,求解,多重网格法,出发点: 粗网格上的计算量大大减少 几次迭代后,某些迭代算法的迭代误差在网格上平滑分布(G-S、ILU),细网格上的残差外插到粗网格, 迭代误差在较粗网格上计算, 回插到较细网格上,多重网格法一维举例,CDS,
3、N次迭代,Fluent中的多重网格法,algebraic (AMG) full-approximation storage (FAS),Solve - Controls - Multigrid.,V-Cycle,W-Cycle,方程之间的耦合及求解,方程之间的耦合及求解,耦合解法 代数方程组:分块带矩阵 迭代求解 分离解法 应用:非线性,耦合不强 逐个方程求解:外循环迭代 亚松弛:逐渐加大松弛因子 内循环迭代: 不必精确求解 最佳迭代次数,外循环的亚松弛迭代,第n步外循环:,内循环求解,Fluent亚松弛,FLUENT 的计算方式,基于压力的解算器(Pressure-based Solver)
4、 (传统上)低速不可压流动 压力由连续方程和动量方程算出 分离方式(Segregated):内存耗用少 耦合方式(Coupled):收敛快 基于密度的解算器(Density-based Solver) (传统上)高速可压流动 压力由状态方程算出,连续方程给出密度 显式耦合:占内存小 隐式耦合:稳定,收敛快,基于压力的分离方式算法,基于压力的耦合方式算法,基于压力的分离方式算法,基于压力的耦合计算,Solve-Controls-Solution,基于密度的耦合方式算法,非线性方程线求解,类牛顿法 全局方法,非线性方程线求解:牛顿迭代,= 0,= 0,非线性方程线求解:分离求解,收敛较牛顿迭代慢
5、和多重网格法结合,Picard迭代,非线性方程线求解:分离求解,常数,显式处理 局部线化 比常数更合理 隐式处理,收敛快,非线性源项处理,Fluent中的源项处理,推迟-校正(Deferred-Correction)方法,Fluent中的Deferred-Correction,CDS离散格式,Deferred-Correction,收敛准则与迭代误差,收敛准则一:解在相邻迭代步之间的差值,迭代误差估计:,收敛准则与迭代误差,收敛准则一:特征值为复数,0.1,实特征值,0.1,复特征值,收敛准则与迭代误差,收敛准则二:残差的下降程度 不适于病态矩阵 残差是求解的一部分,不增加计算量 内循环残差只
6、需下降1到2个量级 外循环残差只需下降3到6个量级 细网格(离散误差小)的迭代收敛标准要更严格,Fluent:至少下降3个量级 能量方程残差下降6个量级(基于压力的算法) 组分方程残差下降5个量级,收敛准则与迭代误差,Laplace problem with SOR solver,Relaxation parameter smaller (left) and larger (right) than the optimum,Fluent迭代收敛准则,压力解算器,密度解算器,至少下降3个量级 能量方程残差下降6个量级(基于压力的算法) 组分方程残差下降5个量级,连续方程:,外循环残差:,Fluen
7、t迭代收敛准则,非稳态问题求解,ODE初值问题回顾,离散格式 Euler显式 Euler隐式 梯形公式 格式精度: 步长足够小才有意义 算法稳定性:CFL条件 刚性,预估-校正法,结合显式法和隐式法优点,二阶精度,显式欧拉,预估:,梯形公式,校正:,多步法,多项式多点插值,显式, Adams-Bashforth,三阶精度:,隐式, Adams-Moulton,三阶精度:,Runge-Kutta法,显式欧拉预估,隐式欧拉校正,梯形公式预估,Simpson公式校正,CFD非稳态求解,显式方法 显式欧拉 Leapfrog 隐式方法 隐式欧拉 Crank-Nicolson 二阶三层格式 高阶龙格-库塔
8、,多步法等:DNS、LES,显式欧拉,CDS,库朗数,显式欧拉:稳定性分析,隐式欧拉,无条件稳定 可用于求解稳态问题 算法上与稳态的亚松弛迭代等价,Crank-Nicolson格式,隐式欧拉与显式欧拉等量混合 无条件稳定,时间三层格式,Fluent非稳态求解:Pressure-based solver,一阶隐式时间离散:,二阶隐式时间离散:,空间离散格式,时间隐式离散,Fluent非稳态求解: Pressure-based solver,迭代时间推进算法,非迭代时间 推进算法(NITA),不适用于高 粘性流动,非迭代时间推进算法(NITA),Fluent非稳态求解:Density-based
9、solver,稳态流动 显式求解:三阶龙格-库塔 隐式求解:隐式Euler 非稳态流动 显式求解:三阶龙格-库塔 隐式求解:dual-time formulation,Bounded second-order scheme,Oscillating solutions in compressible liquid flows,二阶隐式时间离散:,Fluent时间推进算法参数设置,Time step size: Fluent根据用户输入的这个参数对时间进行离散。对于隐式算法( 如Pressure-based solver ),步长大小不会对稳定性构成问题。但会影响精度,步长越小精度越高。步长的设置应使每个时间步内的迭代次数为5-10次即可收敛。 Adaptive Time Stepping 估算误差,来决定步长大小。 注意FFT要求等间隔步长 Stiff Chemistry solver 步长由程序自己决定。,Fluent中的亚松弛方程,Solve-Controls-Solution,
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