2016年江苏省高考数学试卷(含解析版).pdf
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1、1 2016 年江苏省高考数学试卷 一、填空题(共14小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1 (5 分)已知集合 A=1,2,3,6 ,B=x| 2x3 ,则 AB= 2 (5 分)复数 z=(1+2i) (3i ) ,其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是 3 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1 的焦距是 4 (5 分)已知一组数据 4.7 , 4.8 , 5.1 , 5.4 , 5.5 ,则该组数据的方差是 5 (5 分)函数 y=的定义域是 6 (5 分)如图是一个算法的流程图,则输出的a 的值是 7 (5 分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5
2、,6 个点的正方体玩具)先后抛掷2 次,则出现向上的点数之和小于10 的概率 是 8 (5 分)已知 an 是等差数列, Sn是其前 n 项和,若 a1+a2 2=3,S 5=10,则 a9 的值是 9 (5 分)定义在区间 0 ,3 上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交 点个数是 10 (5 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F 是椭圆+=1(ab0)的 右焦点,直线 y=与椭圆交于 B,C两点,且 BFC=90 ,则该椭圆的离心率 2 是 11 (5 分)设 f (x)是定义在 R上且周期为 2 的函数,在区间 1,1)上, f (x)=,其中 aR,若 f ()
3、=f () ,则 f (5a)的 值是 12 (5 分)已知实数 x,y 满足,则 x 2+y2 的取值范围是 13 (5 分)如图,在 ABC中,D是 BC的中点, E,F 是 AD上的两个三等分点, ?=4,?=1,则?的值是 14 (5 分)在锐角三角形 ABC 中,若 sinA=2sinBsinC ,则 tanAtanBtanC 的最小 值是 二、解答题(共6 小题,满分 90 分) 15 (14分)在 ABC中,AC=6 ,cosB= ,C= (1)求 AB的长; (2)求 cos(A)的值 3 16 (14分)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,D ,E分别为 AB ,BC的中
4、点,点 F在侧棱 B1B上,且 B1DA1F,A1C1A1B1求证: (1)直线 DE 平面 A1C1F; (2)平面 B1DE 平面 A1C1F 17 (14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱 锥 PA1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD A1B1C1D1(如图所示),并要求正 四棱柱的高 O1O是正四棱锥的高 PO1的 4 倍 (1)若 AB=6m ,PO1=2m ,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为6m ,则当 PO1为多少时,仓库的容积最大? 4 18 (16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以 M为圆心的圆 M :x 2+y2
5、12x14y+60=0及其上一点 A(2,4) (1)设圆 N与 x 轴相切,与圆 M外切,且圆心 N在直线 x=6上,求圆 N的标准 方程; (2)设平行于 OA的直线 l 与圆 M相交于 B、C两点,且 BC=OA ,求直线 l 的方 程; (3)设点 T(t ,0)满足:存在圆M上的两点 P 和 Q ,使得+=,求实数 t 的取值范围 19 (16分)已知函数 f (x)=a x+bx (a0,b0,a1,b1) (1)设 a=2,b= 求方程 f (x)=2的根; 若对于任意 xR,不等式 f (2x)mf(x)6 恒成立,求实数 m的最大值; (2)若 0a1,b1,函数 g(x)=
6、f(x)2 有且只有 1 个零点,求 ab 的 值 5 20 (16分)记 U=1,2, 100,对数列 an(nN *)和 U的子集 T,若 T= ?,定义 ST=0;若 T=t1,t2,tk ,定义 ST=+例如:T=1, 3,66时,ST=a1+a3+a66现设an(nN *)是公比为 3 的等比数列,且当 T=2, 4时,ST=30 (1)求数列 an 的通项公式; (2)对任意正整数 k(1k100) ,若 T? 1 ,2,k ,求证: STak+1; (3)设 C? U,D? U,SCSD,求证: SC+SC D2SD 附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题
7、,并在相应 的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.A 【选修 41 几何证明选讲】 21 (10分)如图,在 ABC中,ABC=90 , BD AC ,D为垂足, E为 BC的中 点,求证: EDC= ABD 6 B.【选修 42:矩阵与变换】 22 (10分)已知矩阵 A=,矩阵 B的逆矩阵 B 1= ,求矩阵 AB C.【选修 44:坐标系与参数方程】 23在平面直角坐标系 xOy中,已知直线 l 的参数方程为(t 为参数) , 椭圆 C的参数方程为( 为参数) ,设直线 l 与椭圆 C相交于 A,B 两点,求线段 AB的长 24设
8、a0,|x 1| ,|y 2| ,求证: |2x+y 4| a 7 附加题【必做题】 25 (10 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线 l :xy2=0,抛物线 C:y 2=2px(p0) (1)若直线 l 过抛物线 C的焦点,求抛物线C的方程; (2)已知抛物线 C上存在关于直线 l 对称的相异两点 P和 Q 求证:线段 PQ的中点坐标为( 2p,p) ; 求 p 的取值范围 26 (10分) (1)求 7C4C的值; (2) 设 m , nN *, nm , 求证: (m+1 ) C + (m+2 ) C+ (m+3 ) C+nC+ (n+1)C=(m+1 )C 8 2016 年
9、江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(共14小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1 (5 分)已知集合A=1,2,3,6,B=x| 2x3,则 AB= 1, 2 【考点】 1E:交集及其运算 【专题】 11:计算题; 37:集合思想; 5J:集合 【分析】 根据已知中集合A=1,2,3,6,B=x| 2x3 ,结合集合交集 的定义可得答案 【解答】 解:集合 A=1,2,3,6,B=x| 2x3, AB=1,2, 故答案为: 1,2 【点评】 本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题 2 (5 分)复数 z=(1+2i ) (3i ) ,其中 i 为虚数单位
10、,则 z 的实部是5 【考点】 A5:复数的运算 【专题】 35:转化思想; 5N :数系的扩充和复数 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解:z=(1+2i) (3i )=5+5i , 则 z 的实部是 5, 故答案为: 5 【点评】本题考查了复数的运算性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 3 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1 的焦距是2 9 【考点】 KC :双曲线的性质 【专题】 11:计算题; 34:方程思想; 49:综合法; 5D :圆锥曲线的定义、性质 与方程 【分析】 确定双曲线的几何量,即可求出双曲线=1的焦距 【解答】 解:双曲线=1中,a
11、=,b=, c=, 双曲线=1的焦距是 2 故答案为: 2 【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质,考查学生的计算能力, 比较基 础 4 (5 分)已知一组数据 4.7 , 4.8 , 5.1 , 5.4 , 5.5 ,则该组数据的方差是0.1 【考点】 BC :极差、方差与标准差 【专题】 11:计算题; 35:转化思想; 49:综合法; 5I :概率与统计 【分析】先求出数据 4.7 ,4.8 ,5.1 ,5.4 ,5.5 的平均数,由此能求出该组数据 的方差 【解答】 解:数据 4.7 ,4.8 ,5.1 ,5.4 ,5.5 的平均数为: =(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)
12、=5.1, 该组数据的方差: S 2= (4.7 5.1 ) 2+(4.8 5.1 )2+(5.1 5.1 )2+(5.4 5.1 )2+(5.5 5.1 ) 2=0.1 故答案为: 0.1 【点评】本题考查方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意方差计算公 10 式的合理运用 5 (5 分)函数 y=的定义域是 3,1 【考点】 33:函数的定义域及其求法 【专题】 11:计算题; 4O :定义法; 51:函数的性质及应用 【分析】 根据被开方数不小于0,构造不等式,解得答案 【解答】 解:由 32xx 20 得:x2+2x30, 解得: x 3,1 , 故答案为: 3,1 【点评】本题
13、考查的知识点是函数的定义域,二次不等式的解法,难度不大,属 于基础题 6 (5 分)如图是一个算法的流程图,则输出的a 的值是9 【考点】 EF :程序框图 【专题】 11:计算题; 28:操作型; 5K:算法和程序框图 【分析】根据已知的程序框图可得, 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 a 的值,模拟程序的运行过程,可得答案 【解答】 解:当 a=1,b=9时,不满足 ab,故 a=5,b=7, 11 当 a=5,b=7 时,不满足 ab,故 a=9,b=5 当 a=9,b=5 时,满足 ab, 故输出的 a 值为 9, 故答案为: 9 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次
14、数不多,或有规律可循时,可 采用模拟程序法进行解答 7 (5 分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷2 次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 【考点】 CC :列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【专题】 11:计算题; 35:转化思想; 49:综合法; 5I :概率与统计 【分析】 出现向上的点数之和小于10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于 10,由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10 的概 率 【解答】 解:将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5, 6 个点的正方体玩具)先后抛
15、掷2 次, 基本事件总数为 n=66=36, 出现向上的点数之和小于10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于10, 出现向上的点数之和不小于10 包含的基本事件有: (4,6) , (6,4) , (5,5) , (5,6) , (6,5) , (6,6) ,共 6 个, 出现向上的点数之和小于10 的概率: p=1= 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概 率计算公式的合理运用 12 8 (5 分)已知 an 是等差数列, Sn是其前 n 项和,若 a1+a2 2=3,S 5=10,则 a9 的值是20 【考点】 83:等差数列的性质; 85:等
16、差数列的前 n 项和 【专题】 11:计算题; 35:转化思想; 49:综合法; 54:等差数列与等比数列 【分析】 利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组, 求出首项和公差, 由此能求出 a9的值 【解答】 解: an 是等差数列, Sn是其前 n 项和, a1+a2 2=3,S 5=10, , 解得 a1=4,d=3, a9=4+83=20 故答案为: 20 【点评】本题考查等差数列的第9 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注 意等差数列的性质的合理运用 9 (5 分)定义在区间 0 ,3 上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交 点个数是7 【考点】 H
17、2 :正弦函数的图象; H7 :余弦函数的图象 【专题】 31:数形结合; 44:数形结合法; 57:三角函数的图像与性质 【分析】 法 1:画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间 0 ,3 上的图象即可得到 答案; 法 2:由 sin2x=cosx ,即 cosx(2sinx 1)=0,可得 cosx=0 或 sinx=,结合 题意,解之即可 【解答】 解:法 1:画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间 0 ,3 上的图象如下: 13 由图可知,共 7 个交点 法 2:依题意, sin2x=cosx ,即 cosx(2sinx 1)=0,故 cosx=0 或 sinx
18、=, 因为 x0 ,3 ,故 x=,共 7 个, 故答案为: 7 【点评】 本题考查正弦函数与余弦函数的图象,作出函数y=sin2x 与 y=cosx 在 区间0 ,3 上的图象是关键,属于中档题 10 (5 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F 是椭圆+=1(ab0)的 右焦点,直线 y=与椭圆交于 B,C两点,且 BFC=90 ,则该椭圆的离心率 是 【考点】 KL:直线与椭圆的综合 【专题】 34:方程思想; 48:分析法; 5D :圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 设右焦点 F(c,0) ,将 y=代入椭圆方程求得 B,C的坐标,运用两直 线垂直的条件:斜率之积为1,结合离心率公
19、式,计算即可得到所求值方 法二、运用向量的数量积的性质,向量垂直的条件:数量积为0,结合离心率 公式计算即可得到所求 14 【解答】 解法一:设右焦点 F(c,0) , 将 y=代入椭圆方程可得x=a=a, 可得 B(a,) ,C(a,) , 由BFC=90 ,可得 kBF? kCF=1, 即有?=1, 化简为 b 2=3a24c2, 由 b 2=a2c2,即有 3c2=2a2, 由 e=,可得 e 2= =, 可得 e=, 解法二:设右焦点F(c,0) , 将 y=代入椭圆方程可得x=a=a, 可得 B(a,) ,C(a,) , =(ac,) ,=(ac,) , ?=0,则 c 2 a 2
20、十b 2=0, 因为 b 2=a2c2,代入得 3c2=2a2, 由 e=,可得 e 2= =, 可得 e= 解法三、设 BC的中点为 H,连接 HF , 可得 FH=HC=a, 在直角三角形 OHF中, OF 2+OH2=FH2, 15 即有 c 2 a 2 十b 2=0, 因为 b 2=a2c2,代入得 3c2=2a2, 由 e=,可得 e 2= =, 可得 e= 故答案为: 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件: 斜率之积 为1,考查化简整理的运算能力,属于中档题 11 (5 分)设 f (x)是定义在 R上且周期为 2 的函数,在区间 1,1)上, f (x)=
21、,其中 aR,若 f ()=f () ,则 f (5a)的 值是 【考点】 &1:周期函数; 5B:分段函数的应用 【专题】 11:计算题; 35:转化思想; 51:函数的性质及应用 【分析】 根据已知中函数的周期性,结合f ()=f() ,可得 a 值,进而得 到 f (5a)的值 【解答】 解:f (x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 1,1)上, f (x)=, f ()=f ()=+a, f ()=f()=|=, a= , f (5a)=f (3)=f(1)=1+ =, 故答案为: 16 【点评】 本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的周期性,根据已知求出a 值,是解答
22、的关键 12 (5 分)已知实数 x,y 满足,则 x 2+y2 的取值范围是,13 【考点】 7C :简单线性规划 【专题】 31:数形结合; 4R :转化法; 5T:不等式 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义, 结合两点间 的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可 【解答】 解:作出不等式组对应的平面区域, 设 z=x 2+y2,则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方, 由图象知 A到原点的距离最大, 点 O到直线 BC :2x+y2=0的距离最小, 由得,即 A(2,3) ,此时 z=2 2+32=4+9=13 , 点 O到直线 BC :2x+y2=0
23、的距离 d=, 则 z=d 2=( ) 2= , 故 z 的取值范围是 ,13 , 故答案为: ,13 【点评】本题主要考查线性规划的应用,涉及距离的计算, 利用数形结合是解决 本题的关键 17 13 (5 分)如图,在 ABC中,D是 BC的中点, E,F 是 AD上的两个三等分点, ?=4,?=1,则?的值是 【考点】 9O :平面向量数量积的性质及其运算 【专题】 11:计算题; 5A:平面向量及应用 【分析】 由已知可得=+,=+,=+3,=+3, =+2,=+2,结合已知求出 2= , 2= ,可得答案 【解答】 解: D是 BC的中点, E,F 是 AD上的两个三等分点, =+,=
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