2018年天津市高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf
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1、1 2018 年天津市高考数学试卷(理科) 一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)设全集为 R ,集合 A=x|0 x2 ,B=x|x 1,则 A(?RB)= () Ax|0 x1Bx|0 x1Cx|1 x2Dx|0 x2 2 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=3x+5y 的最大值 为() A6B19C21D45 3 (5 分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为 20,则输出 T的值为() A1B2C3D4 4 (5 分)设 xR,则“ |x | ”是“x 31”的( ) A充分而不必要条件B必要而不充分条件 2
2、 C充要条件D既不充分也不必要条件 5 (5 分)已知 a=log2e,b=ln2,c=log,则 a,b,c 的大小关系为() AabcBbacCcbaDcab 6 (5 分)将函数 y=sin (2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对 应的函数() A在区间 , 上单调递增B在区间 , 上单调递减 C在区间 , 上单调递增D在区间 ,2 上单调递减 7 (5 分)已知双曲线=1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直 于 x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点设 A,B到双曲线的同一条渐近线的 距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为() A=1B=1C=1D
3、=1 8(5 分) 如图, 在平面四边形 ABCD 中, AB BC , AD CD , BAD=120 , AB=AD=1 若 点 E为边 CD上的动点,则的最小值为() ABCD3 3 二. 填空题:本大题共6 小题,每小题 5 分,共 30分. 9 (5 分)i 是虚数单位,复数= 10 (5 分)在( x) 5 的展开式中, x 2 的系数为 11 (5 分)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1,除面 ABCD 外,该正方体其余 各面的中心分别为点E, F, G , H, M(如图) , 则四棱锥 M EFGH 的体积为 12 (5 分)已知圆 x 2+y22x=0 的圆
4、心为 C ,直线 , (t 为参数)与该 圆相交于 A,B两点,则 ABC 的面积为 13 (5 分)已知 a,bR,且 a3b+6=0,则 2 a+ 的最小值为 14 (5 分)已知 a0,函数 f (x)=若关于 x 的方程 f (x)=ax 恰有 2个互异的实数解,则a 的取值范围是 三. 解答题:本大题共6 小题,共 80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算 4 步骤. 15 (13 分)在ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b, c已知 bsinA=acos (B) ()求角 B的大小; ()设 a=2,c=3,求 b 和 sin (2AB)的值 16 (13 分)已知
5、某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16现 采用分层抽样的方法从中抽取7 人,进行睡眠时间的调查 ()应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? ()若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足, 3 人睡眠充足,现从这7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 (i )用 X表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数 学期望; (ii ) 设A为事件“抽取的 3人中, 既有睡眠充足的员工, 也有睡眠不足的员工”, 求事件 A发生的概率 17(13 分) 如图, AD BC且 AD=2BC , AD CD , EG AD且 EG=AD , CD FG且 CD=
6、2FG , 5 DG 平面 ABCD ,DA=DC=DG=2 ()若 M为 CF的中点, N为 EG的中点,求证: MN 平面 CDE ; ()求二面角 EBC F 的正弦值; ()若点 P在线段 DG上,且直线 BP与平面 ADGE 所成的角为 60,求线段 DP 的长 18 (13 分)设 an 是等比数列,公比大于0,其前 n 项和为 Sn(nN*) ,bn 6 是等差数列已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6 ()求 an 和bn的通项公式; ()设数列 Sn的前 n 项和为 Tn(nN*) , (i )求 Tn; (ii )证明=2(nN*) 19 (14
7、 分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 B已知椭圆 的离心率为,点 A的坐标为( b,0) ,且|FB| ? |AB|=6 ()求椭圆的方程; ()设直线l :y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且 l 与直线 AB 交于点 Q 若=sin AOQ (O为原点) ,求 k 的值 20 (14分)已知函数 f (x)=a x,g(x)=log ax,其中 a1 7 ()求函数 h(x)=f (x)xlna 的单调区间; ()若曲线 y=f (x)在点( x1,f (x1) )处的切线与曲线y=g(x)在点( x2, g(x2) )处的切线平行,证明x1+g(x2)=; ()
8、证明当 ae时,存在直线 l ,使 l 是曲线 y=f (x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线 8 2018 年天津市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)设全集为 R ,集合 A=x|0 x2 ,B=x|x 1,则 A(?RB)= () Ax|0 x1Bx|0 x1Cx|1 x2Dx|0 x2 【考点】 1H :交、并、补集的混合运算 【专题】 11:计算题; 38:对应思想; 4O :定义法; 5J:集合 【分析】 根据补集、交集的定义即可求出 【解答】 解: A=x|0 x2,B=x|x 1, ?R
9、B=x|x 1, A(?RB)=x|0 x1 故选: B 【点评】 本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目 2 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=3x+5y 的最大值 为() A6B19C21D45 【考点】 7C :简单线性规划 【专题】 11:计算题; 31:数形结合; 49:综合法; 5T:不等式 【分析】先画出约束条件的可行域, 利用目标函数的几何意义, 分析后易得目标 函数 z=3x+5y 的最大值 9 【解答】 解:由变量 x,y 满足约束条件, 得如图所示的可行域,由解得 A(2,3) 当目标函数 z=3x+5y 经过 A时,直线的截距最大, z 取得最
10、大值 将其代入得 z 的值为 21, 故选: C 【点评】在解决线性规划的小题时,常用“角点法”,其步骤为:由约束条件 画出可行域 ? 求出可行域各个角点的坐标? 将坐标逐一代入目标函数? 验证,求出最优解也可以利用目标函数的几何意义求解最优解,求解最 值 3 (5 分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为 20,则输出 T的值为() 10 A1B2C3D4 【考点】 EF :程序框图 【专题】 38:对应思想; 4O :定义法; 5K:算法和程序框图 【分析】 根据程序框图进行模拟计算即可 【解答】 解:若输入 N=20 , 则 i=2 ,T=0,=10是整数,满足条件 T=0
11、+1=1 ,i=2+1=3,i 5 不成立, 循环,=不是整数,不满足条件 ,i=3+1=4,i 5 不成立, 循环,=5是整数,满足条件, T=1+1=2 ,i=4+1=5,i 5 成立, 输出 T=2, 故选: B 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,根据条件进行模拟计算是解决本 题的关键 11 4 (5 分)设 xR,则“ |x | ”是“x 31”的( ) A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【考点】 29:充分条件、必要条件、充要条件 【专题】 11:计算题; 38:对应思想; 4O :定义法; 5L:简易逻辑 【分析】 先解不等式,再根据充
12、分条件和必要条件的定义即可求出 【解答】 解:由 |x | 可得x,解得 0x1, 由 x 31,解得 x1, 故“|x | ”是“x 31”的充分不必要条件, 故选: A 【点评】 本题考查了不等式的解法和充分必要条件,属于基础题 5 (5 分)已知 a=log2e,b=ln2,c=log,则 a,b,c 的大小关系为() AabcBbacCcbaDcab 【考点】 4M :对数值大小的比较 【专题】 11:计算题; 33:函数思想; 4O :定义法; 51:函数的性质及应用 【分析】 根据对数函数的单调性即可比较 【解答】 解:a=log2e1,0b=ln21,c=log=log23log
13、2e=a, 则 a,b,c 的大小关系 cab, 故选: D 【点评】 本题考查了对数函数的图象和性质,属于基础题, 6 (5 分)将函数 y=sin (2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对 应的函数() 12 A在区间 , 上单调递增B在区间 , 上单调递减 C在区间 , 上单调递增D在区间 ,2 上单调递减 【考点】 HJ:函数 y=Asin(x +)的图象变换 【专题】11:计算题;35:转化思想; 4R :转化法;57:三角函数的图像与性质 【分析】将函数 y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的函数为: y=sin2x , 增区间为 +k,+k , kZ, 减区间
14、为 +k,+k , kZ,由此能求出结果 【解答】 解:将函数 y=sin (2x+)的图象向右平移个单位长度, 得到的函数为: y=sin2x , 增区间满足:+2k2x,kZ, 减区间满足:2x,kZ, 增区间为 +k,+k ,kZ, 减区间为 +k,+k ,kZ, 将函数 y=sin (2x+)的图象向右平移个单位长度, 所得图象对应的函数在区间, 上单调递增 故选: A 【点评】本题考查三角函数的单调区间的确定,考查三角函数的图象与性质、平 移等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题 7 (5 分)已知双曲线=1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直 于 x 轴
15、的直线与双曲线交于A,B 两点设 A,B到双曲线的同一条渐近线的 距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为() A=1B=1C=1D=1 13 【考点】 KC :双曲线的性质 【专题】 11:计算题; 33:函数思想; 49:综合法; 5D :圆锥曲线的定义、性质 与方程 【分析】 画出图形,利用已知条件,列出方程组转化求解即可 【解答】 解:由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线 y=,即 bxay=0,F(c,0) , AC CD ,BD CD ,FE CD ,ACDB 是梯形, F是 AB的中点, EF=3, EF=b, 所以 b=3,双曲线=1(a0,b0)
16、的离心率为 2,可得, 可得:,解得 a= 则双曲线的方程为:=1 故选: C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法, 考查计算能力 8(5 分) 如图, 在平面四边形 ABCD 中, AB BC , AD CD , BAD=120 , AB=AD=1 若 14 点 E为边 CD上的动点,则的最小值为() ABCD3 【考点】 9O :平面向量数量积的性质及其运算 【专题】 11:计算题; 38:对应思想; 44:数形结合法; 5A:平面向量及应用 【分析】如图所示,以 D为原点,以 DA所在的直线为 x 轴,以 DC所在的直线为 y 轴,求出 A,B,C的坐标,根据向量的
17、数量积和二次函数的性质即可求出 【解答】 解:如图所示,以 D为原点,以 DA所在的直线为 x 轴, 以 DC所在的直线为 y 轴, 过点 B做 BN x 轴,过点 B做 BM y 轴, AB BC ,AD CD ,BAD=120 , AB=AD=1 , AN=ABcos60 =,BN=ABsin60 =, DN=1+ =, BM= , CM=MBtan30=, DC=DM+MC=, A(1,0) ,B(,) ,C(0,) , 设 E(0,m ) , =(1,m ) ,=(,m ) ,0m , 15 =+m 2 m= (m ) 2+ =(m ) 2+ , 当 m=时,取得最小值为 故选: A
18、【点评】 本题考查了向量在几何中的应用,考查了运算能力和数形结合的能力, 属于中档题 二. 填空题:本大题共6 小题,每小题 5 分,共 30分. 9 (5 分)i 是虚数单位,复数= 4i 【考点】 A5:复数的运算 【专题】 11:计算题; 38:对应思想; 4O :定义法; 5N:数系的扩充和复数 【分析】 根据复数的运算法则计算即可 【解答】 解:=4i , 故答案为: 4i 【点评】 本题考查了复数的运算法则,属于基础题 10 (5 分)在( x) 5 的展开式中, x 2 的系数为 【考点】 DA :二项式定理 16 【专题】 11:计算题; 34:方程思想; 4A:数学模型法;
19、5P:二项式定理 【分析】 写出二项展开式的通项,由x 的指数为 2 求得 r 值,则答案可求 【 解 答 】 解 : ( x ) 5 的 二 项 展 开 式 的 通 项 为 = 由,得 r=2 x 2 的系数为 故答案为: 【点评】本题考查二项式定理的应用,考查二项式系数的性质, 关键是熟记二项 展开式的通项,是基础题 11 (5 分)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1,除面 ABCD 外,该正方体其余 各面的中心分别为点E, F, G , H, M (如图) , 则四棱锥 M EFGH 的体积为 【考点】 LF:棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】 11:计算题; 31:数形结
20、合; 35:转化思想; 49:综合法; 5F:空间位 置关系与距离 【分析】求出四棱锥中的底面的面积,求出棱锥的高, 然后利用体积公式求解即 可 17 【解答】 解:正方体的棱长为1,M EFGH 的底面是正方形的边长为:, 四棱锥是正四棱锥,棱锥的高为, 四棱锥 M EFGH 的体积:= 故答案为: 【点评】 本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力 12 (5 分)已知圆 x 2+y22x=0 的圆心为 C ,直线 , (t 为参数)与该 圆相交于 A,B两点,则 ABC 的面积为 【考点】 J9:直线与圆的位置关系; QH :参数方程化成普通方程 【专题】 35:转化思想
21、; 4R :转化法; 5B:直线与圆; 5S:坐标系和参数方程 【分析】 把圆的方程化为标准方程,写出圆心与半径; 直线的参数方程化为普通方程,求出圆心到直线的距离, 计算弦长 |AB| ,利用三角形面积公式求出ABC 的面积 【解答】 解:圆 x 2+y22x=0 化为标准方程是( x1)2+y2=1,圆心为 C (1,0) , 半径 r=1; 18 直线化为普通方程是 x+y2=0, 则圆心 C到该直线的距离为 d=, 弦长|AB|=2=2=2=, ABC 的面积为 S= ? |AB| ? d= 故答案为: 【点评】 本题考查了直线与圆的位置关系应用问题,也考查了参数方程应用问题, 是基础
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- 2018 天津市 高考 数学试卷 理科 解析
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