专题06指数函数与对数函数(基础篇)-2015年高考数学备考艺体生文化课精选好题突围系列(原卷版).pdf
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1、2015 年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列 专题 6 指数函数与对数函数 幂的运算、对数运算 【背一背基础知识】 1.根式:一般地,如果 n xa,那么x就叫做a的n次方根,其中1n,且nN.式子 n a叫做根式,其 中n叫做根指数, a叫做被开方数 .其中 , , nn a n a a n 为正奇数 为正偶数 ; 2.分数指数幂:我们规定正数的正分数指数幂的意义是:0,1 m nm n aaam nNn且;我们规定 正数的负分数指数幂的意义是: 11 0,1 m n m nm n aam nNn a a 且; 其中0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有意义; 3.正数的有理数幂的
2、运算法则如下:(1) 0, , rsrs a aaar sQ; (2)0, , s rrs aaar sQ; (3)0,0, r rr aba babrQ; 4.对数: 一般地, 如果 01 x aN aa且,那么数x叫做以a为底N的对数, 记作logaxN,其中a 叫做对数的底数,N叫做真数; 其中把以10为底的对数叫做常用对数,并把 10 logN记作lg N,把以e(无 理数2.71828e为底的底数叫做自然对数,并把logeN记作ln N;其中指数与对数的互化为: x aN log01 a xN aa且. 5.对数恒等式: (1)log 1 001 a aa且;(2)log101 aa
3、 aa且;(3) log 01 aN aN aa且. 5.对数的运算性质:如果0a且1a,0M,0N,那么: (1)logloglog aaa MNMN;( 2)logloglog aaa M MN N ;(3)loglog n aa MnMnR. 6.对数的换底公式: log log01;01;0 log c a c b baaccb a 且且. 推论:(1)loglog1 ab ba; (2)loglog n m a a m bb n . 来源 学科网 Z X X K 【讲一讲基本技能】 必备技能: 1.指数幂的化简与求值 (1) 化简原则:化根式为分数指数幂;化负指数幂为正指数幂;化小数
4、为分数;注意运算的先后顺 序 提醒:有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于零,否则不能用性质来运算 (2) 结果要求:若题目以根式形式给出,则结果用根式表示;若题目以分数指数幂的形式给出,则结果 用分数指数幂的形式表示;结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有负分数指数幂 2.对数的化简与求值 (1) 对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此,经常会用到换底公式及其推论;在对含有字母的对 数式化简时,必须保证恒等变形 (2) b aN a blog N(a0 且 a 1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中要注意灵活运用 (3) 利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与
5、对数的和、差、倍之间进行转化 (4) 有限制条件的对数化简、求值问题,往往要化简已知和所求,利用“代入法”. 3.形如 2xx a pb pc型的方程、不等式或函数问题,利用换元法 x tp,将其转化为 2 a tb tc型 的一元二次方程、不等式或二次函数问题,利用相关知识或方法求解;求解对数方程时,直接利用对数式 与指数式的互化,利用指数相关知识求解;对于同底数的对数的运算时,一般利用底数的运算性质即可; 对于不同底数的运算时,一般利用换底公式及其推论来解决. 1.典型例题 例 1 13 210 34 1 0.027()2.563( 21) 7 . 例 2计算: 3 27 log2lg22
6、5lg 4 3 2ln e= . 例 3 设 a0 ,将 32 2 aa a 表示成分数指数幂,其结果是() A. 2 1 aB. 2 3 aC. 6 5 aD. 6 7 a 例 4 设25 ab m,且 11 2 ab ,则m() A.10B.10C.20D.100 【练一练趁热打铁】 1. 23 log 9log 4() A. 1 4 B. 1 2 C.2D.4 2. 211 1 332 65 1 ? 2 ? abab a b () . 3. 若 33 ) 2 lg() 2 lg(,lglg yx ayx则() Aa3Ba 2 3 CaD 2 a 4. 41 33 3 3 22 333 8
7、 12 42 aa bb a a baba . 指数函数与对数函数 【背一背基础知识】 1.指数函数:函数 x ya(0a且1a)称为指数函数,其中底数是不等于1的常数,指数为自变量; 2.指数函数的基本性质: 1a01a 图象 1 y=a x a 1() O x y 1 y=a x 01() Ox y 来源学科网 ZXXK 1 y=logax 0(m 2m 1) 2 1 ,则实数m的取值范围是( ) A. , 51 2 B. 51 2 ,C(1,2) D. 51 2 ,2 2. 当(0,)x时,幂函数 21 (1) m ymmx为减函数,则实数m() A2mB1mC2m或1mD 15 2 m
8、 函数的零点 【背一背基础知识】 1方程的根与函数的零点 (1)函数零点 概念:对于函数)(Dxxfy,把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点 . () 函数零点的意义:函数 )(xfy 的零点就是方程 0)(xf 实数根, 亦即函数 )(xfy 的图象与 x轴 交点的横坐标.即:方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与 x轴有交点 函数)(xfy有零点 . ()函数的零点与方程根的关系 函数F xfxg x的零点就是方程fxg x的根,即函数yfx的图象与函数yg x 的图象交点的横坐标 ()三个等价关系(三者相互转化) 提醒:函数的零点不是点,是方程0)(xf的根,即当
9、函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零函 数的零点也就是函数)(xfy的图象与x轴的交点的横坐标 二次函数)0( 2 acbxaxy的零点: ),方程 0 2 cbxax有两不等实根,二次函数的图象与 x轴有两个交点,二次函数有两个零 点; ),方程 0 2 cbxax 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数 有一个二重零点或二阶零点; ),方程 0 2 cbxax无实根,二次函数的图象与 x轴无交点,二次函数无零点 . 零点存在性定理 如果函数)(xfy在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线,且有)(af)(bf0,那么,函数 )(xfy 在区间 ),(ba
10、内有零点, 即存在 ( , )ca b 使得 0)(cf ,这个c也就是方程 0)(xf 的根 来源 学科网 Z X X K 注意以下两点: 满足条件的零点可能不唯一; 不满足条件时,也可能有零点 由函数)(xfy在闭区间,a b上有零点不一定能推出)(af)(bf0, 如图所示所以)(af)(bf0 是 )(xfy 在闭区间, a b上有零点的充分不必要条件 注意: 如果函数fx在区间,a b上的图象是连续不断的曲线,并且函数fx在区间,a b上是一个单 调函数,那么当)(af)(bf0时,函数fx在区间),(ba内有唯一的零点,即存在唯一的( , )ca b,使 0)(cf. 如果函数fx
11、在区间,a b上的图象是连续不断的曲线,并且有)(af)(bf0,那么,函数fx在 区间),(ba内不一定没有零点 如果函数 fx 在区间,a b上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 fx 在区间 ),(ba 内有零点时不一 定有)(af)(bf0,也可能有)(af)(bf0. .二分法 二分法及步骤: 对于在区间a,b上连续不断,且满足)(af)(bf0的函数)(xfy,通过不断地把函数)(xf的零点 所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法 给定精度,用二分法求函数 )(xf 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间, a b,验证)(af)(b
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