专题1.1“构造函数,比较大小”之归纳大全.pdf
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1、1 专题 01 “构造函数,比较大小”之归纳大全 一、作差构造函数,求参数范围 1设函数 2 , x fxxe g xaxx ()若fx与g x具有完全相同的单调区间,求a的值; ()若当 0x时,恒有fxg x,求a的取值范围 【思路引导】()求导,通过导函数的符号变化确定函数fx的单调区间,再 通过二次函数的对称性和单调性求出a值; ()作差构造函数, 将问题转化为函 数的最小值为正,再通过研究导数的符号变化研究函数的最值 ()当 0x时恒有fxg x,即 10 x fxg xx eax恒成立, 故只需10 x F xeax恒成立, 对F x求导可得 x Fxea0, x xFxea 若1
2、,a则当0,x时,0,FxF x为增函数,从而当 0x时,00F xF 即;fxg x 若1,a则当0,xlna时,0,FxF x为减函数, 从而当0,xlna时,00,F xF即,fxg x故;fxg x不恒成立 2 故a的取值范围为,1 2已知函数 2 , x fxxaxb g xecxd若曲线yfx和曲线yg x都过点 0,2P,且在点 P处有相同的切线42yx ()求, , ,a b c d的值; ()若 2x时,fxkg x,求k的取值范围 【思路引导】()由已知得02,02,0 =4,0 =4fgfg,即可求解, , ,a b c d的 值; ()由()知,设 2 2142 x h
3、 xkg xfxkexxx,求得hx,根据 题意00h,得 1k,利用导数分类讨论,的奥函数的单调性与最值,即可求得 实数k的取值范围 试题解析:()由已知得02,020 =40 =4fgfg, 2, x fxxa gxecxdc 4,2,2,2.abcd ()由()知, 2 42,21 x fxxxg xex, 设 2 2142 x h xkg xfxkexxx, 则2224221 xx hxkexxxke 由题意知,00h,即1k, 令0hx,则 12 2,lnxxk, 当 2 1ke即 2 20x时, 由0hx得, lnxk, 由0hx得, 2lnxk, 所以h x在2, lnk单调递减
4、,在ln ,k单调递增, 3 所以h x在区间2,上的最小值 min lnlnln20h xhkkk, 所以当2x时,0h x即fxkg x恒成立 当 2 ke即 2 2x时,0hx恒成立,即h x在2,单调递增, 所以h x在区间2,上的最小值 min 20h xh, 所以当 2x时,0h x即fxkg x恒成立 当 2 ke即 2 2x时,0hx恒成立即h x在2,单调递增, 所以h x在区间2,上的最小值 22 min 220h xheke, 所以当 2x时, fxkg x不可能恒成立 综上所示,k的取值范围是 2 1,e 3已知函数 2 21lnfxxmxxmR (1)当 1 2 m时
5、,若函数 1 lng xfxax恰有一个零点,求a的取值范围; (2)当1x时, 2 1fxm x恒成立,求m的取值范围 【思路引导】1将当 1 2 m时代入,得 2 lng xaxx,求导,分类讨论当0a时、 当 0a时、当0a时三种情况求出 a的取值范围 (2) 构造 2 21lnh xmxmxx, 求导,讨论 1 0 2 m、 1 2 m、0m三种情况,求出m的取值范围 4 当 0a时,令0gx,解得 2 a x 当0 2 a x时,0gx,所以g x在0, 2 a 上单调递减; 当 2 a x时,0gx,所以g x在, 2 a 上单调递增 要使函数fx有一个零点,则ln0 222 aa
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