专题7.1与数学文化相关的数学考题(原卷版).pdf
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1、【方法综述】 关注学生数学文化的意识的养成,努力推进数学文化的教育,已经成为当今数学教师与改革的一个重要特 征,在新课改的数学命题中,数学文化已经得到足够的重视,但并没由得到应有的落实,造成数学文化教 学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏,令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有 意识的进行尝试和引导,在众多的经典试题中,湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃,因此,我们 特别策划了此专题,将数学文化与数学知识相结合,选取典型样题深度解读,希望能够给予广大师生的复 习备考以专业的帮助与指导. 【解答策略】 类型一、取材数学游戏 游戏可以让数学更加好玩,在游戏中运用数学知识,或蕴含
2、着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游 戏,把数学游戏改编为高考试题,既不失数学型,又能增加了考题的趣味性,充分体现了素质教育与大众 数学的理念 . 例 1、五位同学围成一圈依次循环报数,规定: 第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同 学所报出的数之和; 若报出的数是3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次. 已知甲同学第一个报数,当五位同学依次循环报到第100 个数时,甲同学拍手的总次数为. 【指点迷津】以数学游戏为素材的命制高考题目,创造了既宽松又竞争的环境,拉近了考生与数学的心理 距离,但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关,便
3、于考生更好地理解游戏.例如: 2012 年高 考湖北卷第13 题“回文数”, 考查排列、 组合和归纳推理等知识.本题以此为背景,以简单的游戏为分析计 算对象,考查学生的阅读理解能力和合情推理能力. 【举一反三】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22,,11,3443,94249等.显然 2位回文数 有9个: 11,22,33 , 99.3位回文数有 90个: 101,111,121 , 191,202 , 999.则 () 4位回文数有 _个; () 2n1(nN+)位回文数有_个. 类型二、取材数学名著 如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等,这些都是命制考题好的素材,从中选
4、取一段有关的数 学素材,突出索要考查的数学知识,在引导中学数学教学知能并重的同时,有意识地培养学生的数学素养. 例 2、我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺, 重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5 尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1 尺,重 4 斤;在细的一端截下1 尺,重 2 斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化 的,其重量为M,现将该金杖截成长度相等的10 段,记第i段的重量为1,2,10 i ai,且 1210 aaa,若485 i aM,则i() A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【指点迷津】
5、本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式以及转化与划归思 想,属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量 1, , , nn a d n aS, 一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列 的有关性质和公式,并灵活应用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.学*科网 【举一反三】 【辽宁省丹东市2019 届高三测试(一)】我国明代伟大数学家程大位在算法统综中常以诗 歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节 三升九,上梢四节
6、贮三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明”意思 是:九节竹的盛米容积成等差数列,其中的“三升九”指3.9 升,则九节竹的中间一节的盛米容积为() A0.9 升B 1 升C 1.1 升D2.1 升 类型三、取材数学名题 数学名题具有非凡的魅力,它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联, 数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一. 例 3、 【江西省南昌市2019 届高三第一次模】我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里 出现了如图所示的表,即杨辉三角, 这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第行的所有数字之 和为,若去除所
7、有为1 的项,依次构成数列,则此数列的前55 项和为 ( ) A4072 B 2026 C 4096 D2048 【指点迷津】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1 行,然后令x1 得到对应项的系数和,结合 等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可 【举一反三】 【广西桂林市,贺州市,崇左市2019 年高三 3 月调研】 2018 年 9 月 24 日,英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动,黎曼猜想来源于一些特 殊数列求和 .记无穷数列的各项的和,那么下列结论正确的是() ABC D 类型四、取材数学推理 数学猜想是推动数学发展的强大动力
8、之一,是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素,也是人类理 性中最富有创造性的部分,数学猜想一旦被证明,就将转化为定理,从而丰富数学理论,即使被否定或不 能被证实,也常常能给数学带来不可预期的成果,数学猜想是命制考题的好素材,它包含丰富的数学知识 和思想方法 . 例 4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如: 他们研究过图1 中的 1,3, 6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 2 中的 1, 4,9, 16 这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【指点迷津】合情推理主要
9、包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助 猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎 情理”的推理,它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提 下). 【举一反三】 【湖北省恩施州2019 届高三 2 月检测 】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的四 元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题:今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四 人,次日转多七人. ”其大意为“官府陆续派遣1864 人前往修筑堤坝,第一天派出64 人,从第二天开始每 天派出的人数比前一天多7
10、 人 . ”在该问题中的 1864 人全部派遣到位需要的天数为() A9 B 16 C 18 D20 类型五、取材数学图形 例 5、一幅图胜过一千字,“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”, 图形不仅包含大量信息,而且形象直观,生动绚丽,还能展示数学之美,图形是数学总要的组成部分,高 考试题中自然少不了这样的试题,同时能较好的体现数学文化,甚至富有诗意的数学图形. 【贵州省凯里市第一中学2019 届高三下学期模拟考试黄金卷二】如图,是我国古代数学家赵爽的弦图, 它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积为,小正方形 的面积为,直角
11、三角形较小的锐角为,则() ABC D 【举一反三】 1.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344 年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升,其三 视图如图所示(单位:寸),若取 ,立方寸 = 升,则商鞅铜方升的容积约为() A升B升C 升D升 2.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019 届高三二模】牛顿迭代法亦称切线法,它是求函数零点近似解的另一 种方法,若定义是函数零点近似解的初始值,过点的切线为 ,切线与轴交点的横坐标,即为函数零点近似解的下一个初始值,以此类 推, 满足精度的初始值即为函数零点的近似解,设函数, 满足应用上述方法, 则() ABC D 类型六、取材数学文化与现代科学: 数学文
12、化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事,被广大媒体和公众共同关注,具 有方向性和短暂性和聚焦性等特点,命题专家从一段时事材料中甄选一个角度,简明扼要的交代时事背景, 抽象出数学模型,突出索要考查的数学问题,类似于文科综合卷中的时事材料,既能达到一般试题的考查 效果,又能融入肥厚的数学文化,平添点滴生活气息. 例 6、 【福建省2019 届高考适应(三)】习总书记在十九大报告中指出:必须树立和践行绿水青山就是金 山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神,开展植树造林活动,拟测量某座山的高.如图,勘探队员在山脚 A 测得山顶B 的仰角为,他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40 米后到达C
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