《专题4.3立体几何的动态问题(解析版).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题4.3立体几何的动态问题(解析版).pdf(31页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、一方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点,问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问 题的思维障碍,使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平 面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题,由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离 的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.此类题的求解并没有一定的模式与 固定的套路可以沿用,很多学生一筹莫展,无法形成清晰的分析思路,导致该题成为学生的易失分点.究其 原因,是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的. 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素,因此
2、要认真分析其变化特点,寻找不变的静态因 素,从静态因素中,找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题,有时应把这类动态的变化过程 充分地展现出来,通过动态思维,观察它的变化规律,找到两个极端位置,即用特殊法求解范围.对于探究 存在问题或动态范围(最值)问题,用定性分析比较难或繁时,可以引进参数,把动态问题划归为静态问 题.具体地,可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算,以算促证. 二解题策略 类型一立体几何中动态问题中的角度问题 例 1.【四川高考题】如图,四边形ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M 在线 段 PQ 上, E、F分别为 AB、BC 的中点
3、 .设异面直线EM 与 AF 所成的角为,则cos的最大值为 . 【答案】 2 5 2 81161 81 455 2 y y t t ,当1t时取等号 .所以 2 2 11 2(1)12222 cos 5 1155 545 11 44 y y y y ,当0y时,取得最大值. z y x F M E QP D C B A 【指点迷津】空间的角的问题,一种方法,代数法,只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标 系,然后利用公式求解;另一种方法,几何法,几何问题要结合图形分析何时取得最大(小)值.当点 M 在 P 处时, EM 与 AF 所成角为直角,此时余弦值为0(最小),当M 点向左移动
4、时,EM 与 AF 所成角 逐渐变小时,点M 到达点 Q 时,角最小,余弦值最大. 【举一反三】 1、 【四川高考题】如图,在正方体 1111 ABCDA B C D中,点O为线段BD的中点 .设点P在线段 1 CC上,直 线OP与平面 1 A BD所成的角为,则sin的取值范围是() A 3 ,1 3 B 6 ,1 3 C 6 2 2 , 33 D 2 2 ,1 3 【答案】 B 1111 33 2 12 2 22 cos,sin 3 33 2 2 AOCAOC , 11 31 3 36 22 cos,sin 333 2 2 AOCA OC . 又直线与平面所成的角小于等于90,而 1 AO
5、C为钝角,所以sin的范围为 6 ,1 3 ,选 B. 2、 【广东省东莞市2019 届高三第二次调研】在正方体中,E是侧面内的动点,且 平面,则直线与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是 ABCD 【答案】 B 【解析】 解:以 D 为原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴,为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体中棱长为1, 设0, 1,1, 0,1, ,1,1, 设平面的法向量y, 则,取, 得, 平面, ,解得, , 设直线与直线 AB 所成角为, 1, , 直线与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是 故选: B 3、如图, 已知平面, l , A 、B是直线 l 上的两点,
6、C 、 D 是平面内的两点, 且 DAl , CBl , 3AD , 6AB , 6CB P 是平面上的一动点,且直线 PD , PC 与平面所成角相等, 则二面角 PBCD 的余弦值的最小值是() A 1 5 B 1 2 C 3 2 D1 【答案】 C 类型二立体几何中动态问题中的距离问题 【例 2】 【广西壮族自治区柳州市2019 届高三毕业班3 月模拟】如图,在正方体中,棱 长为 1,点为线段上的动点(包含线段端点),则下列结论错误的是() A当时,平面 B当为中点时,四棱锥的外接球表面为 C 的最小值为 D当时,平面 【答案】 C 【解析】 对于,连结, 则, 设到平面的距离为,则,解
7、得, . 当时,为与平面的交点 平面平面, 平面, 平面,故 A 正确 又由以上分析可得,当时,即为三棱锥的高, 平面,所以 D 正确 对于 B,当为中点时,四棱锥为正四棱锥, 设平面的中心为,四棱锥的外接球为, 所以,解得, 故四棱锥的外接球表面积为,所以 B 正确 对于 C ,连结,则, , 由等面积法得的最小值为, 的最小值为所以 C 不正确 故选: C. 【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法,可建立坐标系,设点的坐标,用两点间距离公式写出距 离,转化为求函数的最值问题;另一种方法, 几何法, 根据几何图形的特点,寻找那两点间的距离最大(小) , 求其值 . 【举一反三】 1、
8、【河南省焦作市2018-2019学年高三三模】在棱长为4 的正方体ABCD A1B1C1D1中,点 E、F分别在 棱 AA1和 AB 上,且 C1E EF,则 |AF|的最大值为() AB 1 C D2 【答案】 B 【解析】 以 AB,AD ,AA1所在直线为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系如图所示,则C1(4,4,4) ,设 E(0,0, z) , z 0 ,4, F(x,0,0) , x 0 ,4 ,则 |AF|x( 4,4,4 z) ,( x,0, z) 因为 C1E EF,所以,即: z2+4x 4z0, xz 当 z2 时, x 取得最大值为1|AF|的最大值为1 故选: B 2
9、.如图,已知正方体 1111 ABCDA B C D棱长为 4,点H在棱 1 AA上,且 1 1HA,在侧面 11 BCC B内作边长 为 1 的正方形 1 EFGC,P是侧面 11 BCC B内一动点,且点P到平面 11 CDD C距离等于线段PF的长,则当 点P运动时, 2 |HP的最小值是() A21 B22 C 23 D25 【答案】 B 【解析】在 1 BB上取点K,使得 1 1B K,则HK面 11 BCC B,连结PK,则 2222 16HPHKPKPK在平面 11 BCC B上, 以 1 CC所在直线为x轴,以GF所在直线为y轴,由题 意可 知,P点轨迹为抛物线,其方程为 2
10、21xy,K点坐标为0 4,设P xy,则 2 21xy(其中 1 2 2 3 7 1,xy, , 2 2222 421816615PKxyyyyyy当 1 7 , 2 2 3y时, 2 min 6|PK,故 2 min |16622HP 3、 如图 ,在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点 ,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距 离的最小值为_. 【答案】 2 5 5 类型三立体几何中动态问题中的面积、体积问题 【例 3】在棱长为 6 的正方体中,是中点, 点 是面所在的平面内的动点,且满足 ,则三棱锥的体积最大值是() A. 36 B. C. 24 D. 【答
11、案】 B 【指点迷津】求几何体体积的最值,先观察几何图形三棱锥,其底面的面积为不变的几何量,求点 P 到平面 BCD 的距离的最大值,选择公式,可求最值. 【举一反三】 1、 九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角 形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵 111 ABCA B C中,ACBC,若 1 2AAAB,当阳马 11 BA ACC体积最大时, 则堑堵 111 ABCA B C 的体积为() A 8 3 B2C.2D2 2 【答案】 C 2、 【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017 届高三下学期
12、第一次模拟】已知矩形ABCD中,6,4ABBC, ,E F分别是,AB CD上两动点,且AEDF, 把四边形BCFE沿EF折起,使平面BCFE平面ABCD, 若折得的几何体的体积最大,则该几何体外接球的体积为() A. 28B. 28 7 3 C. 32D. 64 2 3 【答案】 D 3、【湖南省衡阳市2019 届高三二模】如图,直角三角形,将绕 边旋转至位置,若二面角的大小为,则四面体的外接球的表面积的最小值为 () ABC D 【答案】 B 【解析】 如图,分别为,的中点,作面,作面,连,易知点即为 四面体的外接球心,.设,则, ,. 【处理一】 消元化为二次函数 【处理二】 柯西不等式
13、 所以. 类型四立体几何中动态问题中的轨迹问题 【例 4】 如图直三棱柱中,为边长为2 的等边三角形,点 、 、 、 、分别是边、 、的中点,动点在四边形内部运动,并且始终有平面,则动点的轨迹长 度为() A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 因为分别为的中点,所以,所以平面,平面,又因为 ,所以平面平面, 要使平面, 则平面, 所以点的轨迹为线段, 点 的轨迹长度为. 故本题正确答案为. 【指点迷津】由已知可知平面平面,要始终有平面,点 M 为定点,所以点P 的轨 迹为线段HF,求其长度即可. 【举一反三】 1、 【安徽省安庆市2019 届高三二模 】 如图,正三棱柱的侧棱长为,底
14、面边长为,一只蚂 蚁从点出发沿每个侧面爬到,路线为,则蚂蚁爬行的最短路程是() ABC D 【答案】 A 【解析】 正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形,矩形的长为,宽为,则其对角线的长为最短程. 因此蚂 蚁爬行的最短路程为. 故选 :A. 2、在正方体 1111 ABCDA B C D中,已知点P为平面 11 AA D D中的一个动点,且点P满足:直线 1 PC与平 面 11 AA D D所成的角的大小等于平面PBC与平面 11 AA D D所成锐二面角的大小,则点P的轨迹为() A直线B椭圆C圆D抛物线 【答案】 D F E P C1 B1 D1 A1 D C B A z y x 3、已知
15、平面平面,且.是正方形,在正方形内部 有一点,满足与平面所成的角相等,则点的轨迹长度为( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】根据题意,以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图 1 所 示,则,设,易知直线与平面所的角分别为,均为锐角, 类型五立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题 【例 5】如图,已知ABC,D是AB的中点,沿直线CD将ACD折成A CD,所成二面角 ACDB的平面角为,则() A.A DBB.A DBC. A CBD.A CB 【答案】 B. 【解析】 试题分析:设ADC,设 2AB ,则由题意 1ADBD ,在空间图形中,设A Bt, 在A CB
16、中, 2222222 112 cos 22 1 12 A DDBABtt A DB A DDB , 在空间图形中,过A作ANDC,过B作BMDC,垂足分别为N,M, 过N作/ /NPMB,连结A P,NPDC, 则A NP就是二面角ACDB的平面角,ANP, 在Rt A ND中,coscosDNA DADC,sinsinA NA DA DC, 【举一反三】 1、 【四川省宜宾市2019 届高三二诊 】已知棱长都为2 的正三棱柱的直观图如图,若正三棱 柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转,则它的侧视图可以为 A B C D 【答案】 B 【解析】 由题意,四个选项高都是2, 若侧视图为A,中间应该有一
17、条竖直的实线或虚线 若为 C ,则其中有两条侧棱重合,不应有中间竖线 若为 D,则长应为,而不是1 故选: B 2.【重庆市南开中学2019 届高三三月测试】如图,在正方形中,分别为线段,上的点, ,将绕直线、绕直线各自独立旋转一周,则在所有旋转过程 中,直线与直线所成角的最大值为_ 【答案】 【解析】 由题绕直线、绕直线各自独立旋转一周,形成两个圆锥体,AB 和 DF 成为圆锥的母线, 所以无论怎么旋转,都有,利用几何体性质得:最大角是AB 与 BE的对称直线 B和 DF 关于直线CD 的对称直线D在同一平面内时所成角,为 故答案为 3.【2017 课标 1,理 16】如图,圆形纸片的圆心为
18、O,半径为 5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC的中心 为O.D、E、F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿 虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D、E、F重合,得到三棱 锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 _. 【答案】4 15 【解析】 三强化训练 一、选择题 1. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是边AA1,CC1上的中点, 点M是BB1上的动点, 过点E,M,F的平面与棱DD1交于点N,设BMx,平行四边形EMFN的面积为S,设yS 2,则 y
19、关于 x的函数yf(x)的图象大致是( ) AB C D 【答案】 A 【解析】 由对称性易知四边形为菱形, , 为二次函数,开口向上,顶点为. 故选: 2、某圆柱的高为1,底面周长为8,其三视图如图所示圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱 表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到 N 的路径中,最短路径的长度为 ABC D 【答案】 C 【解析】 根据几何体的三视图如图所示: 由于底面周长为8,得到, 解得, 所以点 M 到 N 在下底面上的射影的弧长为, 把圆柱的侧面展开得到从M 到 N 的路径中的最小值为 故选: C 3、如 图,等边三角形ABC的中线A
20、F与中位线DE相交于G,已知EDA是ADE绕DE旋转过程中 的一个图形,下列命题中,错误的是() A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面GFA平面BCDE C 三棱锥EFDA的体积有最大值D异面直线EA与BD不可能垂直 【答案】 D 4.【河南省郑州市第一中学2019 届高三上期中】在三棱锥中,平面 ,M 是线段上一动点,线段长度最小值为,则三棱锥 的外接球的表面积是() ABC D 【答案】 C 【解析】 解:如图所示: 三棱锥中,平面, M是线段上一动点,线段长度最小值为, 则:当时,线段达到最小值, 由于:平面, 所以:, 解得:, 所以:, 则:, 由于:, 所以: 则:为
21、等腰三角形 所以:, 在中,设外接圆的直径为, 则:, 所以:外接球的半径, 则:, 故选:C 5 【河南省郑州市2019 年高三第二次质量检测】在长方体中, 分别是棱的中点,是底面内一动点,若直线与平面没有公共点,则三角形 面积的最小值为() ABC D 【答案】 C 【解析】 补全截面EFG为截面EFGHQR如图, 其中 H、Q 、R 分别为、的中点,易证平面ACD 1平面 EFGHQR, 直线D1P与平面EFG不存在公共点, D 1P面 ACD 1,D1P 面ACD1, PAC,过 P 作 AC 的垂线,垂足为K,则 BK=,此时BP最短, PBB1的面积最小, 三角形面积的最小值为,
22、故选:C 6.【上海交通大学附属中学2019 届高三 3 月月考】如图,已知三棱锥,平面,是棱上 的动点,记与平面所成的角为,与直线所成的角为,则与的大小关系为() AB C D不能确定 【答案】 C 【解析】 如图所示:PA平面ABC,PD与平面ABC所成的角=PDA, 过点A作AEBC,垂足为E,连接PE, PA平面ABC,PABC,BC平面PAE,BC PE, 在 Rt AED, Rt PAD, Rt PED中: cos,cos,cos, coscoscos cos,又均为锐角,故选 C. 7如图,在等腰中,M 为的中点,沿BM 把它折成二面角,折后A 与 C 的距 离为,则二面角的大小
23、为() A 30 B 60 C 90 D 120 【答案】 D 【解析】 等腰直角BC 中,BBC 2,M 为C 中点, 折之前C2, BMC , 折之后AM CM, AM BM, CM BM, AMC 是二面角C BM A 的平面角, 折后 A,C 间的距离为, 由余弦定理得cos AMC,AMC 二面角C BM A 的大小为,即为 120 故选: D 二、填空题 8.【安徽省蚌埠市2019 届高三第一次检查】如图所示,正方体的棱长为2,E,F 为, AB 的中点, M 点是正方形内的动点,若平面,则 M 点的轨迹长度为_ 【答案】 【解析】 如图所示,取的中点,的中点,连接, 可得:四边形
24、是平行四边形,. 同理可得: 平面平面, 点是正方形内的动点,若平面. 点在线段上 点的轨迹长度故答案为 9已知正方体的棱长为,点为线段上一点,是平面上一点, 则的 最小值是 _; 【答案】 【解析】 解:当取得最小时, 点必定是点在平面上的射影,即在上. 与在二面角的两个面内, 为此将绕旋转 90,使得平面与平面在同一平面内, 由,故当共线且与垂直时,取得最小 . 在平面内,因为 所以, 又, 所以与都是等腰直角三角形, 所以得到=,故的最小值为. 10、【 2017 课标 3,理 16】a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所 在直线与a,b都垂直,斜边AB以直
25、线AC为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线AB与a成 60 角时,AB与b成 30 角; 当直线AB与a成 60 角时,AB与b成 60 角; 直线AB与a所成角的最小值为45 ; 直线AB与a所成角的最小值为 60 . 其中正确的是_.(填写所有正确结论的编号) 【答案】 【解析】 试题分析:由题意,AB是以AC为轴 ,BC为底面半径的圆锥的母线,由,ACa ACb,又AC圆锥 底面, 在底面内可以过点B,作BDa,交底面圆C于点D,如图所示, 连结DE,则DEBD,DEb, 连结AD,等腰ABD中,2ABAD,当直线AB与a成 60 角时,60ABD,故2BD, 又在BDERt中,2,2BE
26、DE,学科 &网 过点B作BFDE,交圆C于点F,连结AF,由圆的对称性可知2BFDE, ABF为等边三角形,60ABF,即AB与b成 60角,正确,错误. 由最小角定理可知正确; 很明显,可以满足平面ABC直线a,直线 AB与a所成的最大角为 90 ,错误 . 正确的说法为. 学科 &网 11 【2019 届湘赣十四校高三联考第二次考试】如图,正三棱锥的高,底面边长为4, 分别在和上,且,当三棱锥体积最大时,三棱锥的内切球的半径为 _ 【答案】 【解析】 设, , 当时,取得最大值, 此时为中点,经过点, 且, 所以可求, ,因此易求,又 ,. 12 【河南省六市2019 届高三第一次联考】
27、如图,是等腰直角三角形,斜边,D 为直角边BC 上一点不含端点,将沿直线 AD 折叠至的位置,使得在平面 ABD 外,若在平面 ABD 上的射影H 恰好在线段AB 上,则 AH 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 解:在等腰中,斜边,D 为直角边BC 上的一点, , 将沿直 AD 折叠至的位置,使得点在平面 ABD 外, 且点在平面 ABD 上的射影H 在线段 AB 上,设, , 平面 ABC , ,当时, B 与 D 重合, 当时, 为直角边BC 上的一点, , 的取值范围是 故答案为: 13 【陕西省榆林市2019 届高考模拟第三次测试】如图,是边长为2 的正方形,其对角线与交 于点,将
28、正方形沿对角线折叠,使点所对应点为,.设三棱锥的外接球的体 积为,三棱锥的体积为,则_ 【答案】 【解析】 由题,易知三棱锥的外接球的球心为,到底面的 距离为,. 故答案为 14 【河南省洛阳市2018-2019学年高中三第二次统考】正四面体中,是的中点,是棱上一 动点,的最小值为,则该四面体内切球的体积为_. 【答案】 【解析】 如下图,正方体中作出一个正四面体 将正三角形和正三角形沿边展开后使它们在同一平面内,如下图: 要使得最小,则三点共线,即:, 设正四面体的边长为,在三角形中,由余弦定理可得: ,解得:, 所以正方体的边长为2,正四面体的体积为:, 设四正面体内切球的半径为,由等体积
29、法可得:, 整理得:,解得:, 所以该四面体内切球的体积为. 15 【江西省吉安一中、 九江一中、新余一中等八所重点中学2019 届高三 4 月联考】如图,已知多面体 的底面是边长为的正方形,平面,且,现将以直线为 轴旋转一周后,则直线与动直线所成角的范围 _ 【答案】 【解析】 画出图像如下图所示,将平移到的位置,点在以为圆心,半径为的圆上运动 .则就是所求 线线角,根据三角形中,大角对大边,为定值,故最值由来确定,故当在处线线角最小, 在处线线角最大.由于,故.而,故,所以 .而,故.所以所求线线角的取值范围是 . 16 在三棱锥中,,分别为棱和棱上的动点, 则的周长范围 _. 【答案】 【解析】 三棱锥如图: 把三棱锥ABCD的侧面展开如图, ,, B,A, 共线, 此时两点间的连接线即是的周长的最小值8,但此时 E,F重合于 A,不能构成三角形,所以取不 到 8 由图观察,当分别在棱和棱上由 A 向下移动时,的长度先变小,移动至分别与AD ,AC 垂直时,的长度最小,再向下移动逐渐变大, 所以的周长最大为=15, 故答案为.
链接地址:https://www.31doc.com/p-4429870.html