从“耍金箍棒”、“踢三角”到“玩转金字塔”(1).pdf
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1、从“耍金箍棒”、“踢三角”到“玩转金字塔” 谈一类与等差数列相关的计算 概念已知数列 an ,若对于所有的 n2,都有 an- an-1=d(d 为常数),我们就称数列 an 为等差数列( Arithmetic progression),其中 d 叫做这个等差数列的公差。 等差数列 an 中每一个数 ai都叫做等差数列的项。有限项等差数列 a1、a2、a3、 an中, n 叫做等差数 列的 项数 ,a1叫做等差数列的首项,an叫做等差数列的末项 。 基本公式an=a1+( n- 1) d=am+( n- m) d n=(an- a1) d+1 d=(an- a1) (n- 1)=( ai- a
2、j) (i- j) 一、从基本的等差数列求和谈起 等差数列求和是各类考试中常考的内容,是中小学生需要掌握的基本数学技能之一。 例 1 计算 2+5+8+11+14+17+20+23 分析显然这是一串等差数列求和。如下图,我们把这串数字顺次写到孙悟空的“金箍 棒”上: 2 5 8 11 14 17 20 23 我们再复制一个完全一样的“金箍棒”,然后把复制的“金箍棒”掉一下头(即绕中心 旋转 180),再把两个“金箍棒”合二为一,最后把相同位置上的数相加。如下图: 2 5 8 11 14 17 20 23 23 20 17 14 11 8 5 2 2 5 8 11 14 17 20 23 23
3、20 17 14 11 8 5 2 25 25252525252525 我们会发现最后合二为一的这个“金箍棒”每个位置上的数都是 25(2+23=5+20 = 1 =23+2=25),一共有 8 个位置,所以最后这个“金箍棒”上所有的数的和等于 258=200,而 这个“金箍棒”是由最开始的两个“金箍棒”合二为一的,所以最开始的“金箍棒”上的所 有的数之和等于 2002=100。 因此,我们可以知道 2+5+8+11+14+17+20+23 =(2+23) 82 =100 而事实上,对于任意等差数列an ,我们采取同样的方式: a 1 a 2 a 3 ai an-1 a n a n a n-1
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