竞赛讲座:基本不等式与柯西不等式.pdf
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1、基本不等式应用 一基本不等式 1.(1)若 a,b R ,则 a 2 b22ab (2) 若 a,b R ,则ab a 2 b 2 (当且仅当 a b 时取 2 “=”) 2. (1)若 a,b R * ,则 a b (2) 若 a,b R * ,则 a b 2 (当且仅当 a b 时取“=”) ab ab 2 a b 2 (3) 若 a,b R*,则 ab( 当且仅当 a b 时取“ =”) 2 3. 若 x 0,则 x 1 2 ( 当且仅当 x 1 时取“ =”); 若 x 0,则 x 1 2 ( 当且仅当x1时取 x x “=”) x x 2 x x 2 x x -2 若 x 0,则 1
2、 即或 1 1 ( 当且仅当 a b 时取“ =”) 3. 若 ab 0,则 a b ( 当且仅当 a b 时取“ =”) b a 2 若 ab 0,则 a b a b a b -2 ( 当且仅当ab时取“ =”) 2即或 2 b a a b a b 4. 若 a,b R ,则 ( a b ) 2 a2 b2 (当且仅当 a b 时取“ =”) 2 2 注:( 1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它 们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不
3、等式、解决实际问题方面有广泛的应 用 应用一:求最值 例 1 :求下列函数的值域 (1)y3x 2 1 (2)yx1 2x2 x 1 解:( 1)y 3x 2 2x 2 2 3x 2 6 值域为 6 ,+) 1 (2)当 x0 时, y xx2x 2; 1 1 x 当 x0 时, yxx= ( xx) 2 =2 值域为(,22,+) 解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知x5 ,求函数 y 4x 21 的最大值。 4 4x5 解:因 4x 5 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4x2) 1 不是常数,所以对 4x 2 要进行拆、凑 4x 5 项, 1 x 5 4x 0 , y 4x 2 1
4、4x 1 2 3 1 5 3 4 , 5 4x 5 5 4x 当且仅当 5 4x 1 ,即 x 1时,上式等号成立,故当 x 1时, ymax 1。 5 4x 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例 1. 当时,求 y x(82x)的最大值。 解析:由知,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式 子积的形式,但其和不是定值。注意到 2x (8 2x) 8 为定值,故只需将yx(8 2x) 凑上一个系数 即可。 当,即 x2 时取等号当 x2 时,yx(82x)的最大值为 8 。 评注:本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和
5、为定值,从而可利用基本不等式求最 大值。 变式:设 0 x 3 ,求函数 y 4x(32x)的最大值。 2 解: 0 x 3 3 2x 0 y4x(32x)22x(3 2x 3 2x 2 9 2x) 2 2 2 2 当且仅当 2x 3 2x, 即x 3 3 0, 时等号成立。 4 2 技巧三: 分离 例 3. 求 y x2 7x10 (x 1) 的值域。 x 1 解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x1)的项,再将其分离。 当, 即时, y2 (x1) x 4 1 59(当且仅当x1 时取“”号)。 技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x
6、1,化简原式在分离求最值。 y (t1) 2 7(t1)+10 =t 2 5t 4 t 4 5 ttt 当, 即 t=时, y2 t 4 t 59(当 t=2 即 x1 时取“”号)。 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求 最值。即化为 y mg(x) g( A x) B( A 0, B 0),g( x) 恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式 来求最值。 2 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f (x) x a x 的单调 性。 例:求函数 y x2 5 的值域。 x24 t(t 2),则 y x25
7、1 1 x24 解:令 x 2 4 t (t 2) t x 2 4 x24 因 t 0,t 1 t 1,但 t 1 t 解得t1不在区间2,,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y t 1 t 在区间1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故 y 5 2 。 5 所以,所求函数的值域为 , 。 2 练习求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值 . (1) y x 2 3x 1 ,(x 0) ( 2) y 2x 1 , x 3 (3) y 2sin x 1 , x (0, ) x x 3 sin x 2已知0x1,求函数yx(1 x)的最大值 .;30x 2 3 ,求函数 y x(2
8、3x)的最大值 . 条件求最值 1. 若实数满足 a b 2,则3a3b的最小值是. 分析:“和”到“积”是一个缩小的过程,而且 3a 3b定值,因此考虑利用均值定理求最小值, 解: 3a和 3 b 都是正数, 3 a 3 b 2 3 a 3 b 2 3 a b 6 当 3a 3b时等号成立,由ab2及 3a 3b得ab1即当ab1时, 3a 3b的最小值是 6 变式:若 log4xlog4y 2 ,求 1 x 1 y 的最小值 .并求 x,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 2:已知x0,y0,且 1 x 9 y 1,求xy的最小
9、值。 1 9 错解 : x 0, y 0 1 9 9 x y min 12 ,且 1 , x y x y2 2 xy 12 故 x y xy x y 。 1 9 错因:解法中两次连用基本不等式,在 x y 2 等号成立条件是 x y ,在 9 等号成立xy 2 x y xy 3 条件是 1 x 9 y 即 y 9x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用基本不等式处理问题时,列出 等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。 1 9 9 y 9x 正解: x 0, y 0, 1,xy x y 1 10 6 10 16 x x y x y y 当且仅当 y 9x 时,
10、上式等号成立,又1 9 1,可得x4,y12时,xy min 16 。 x x y y 变式:(1)若 x, y R 且2x y 1,求1 1 的最小值 x y (2)已知a,b,x,yR且 a b 1,求xy的最小值 x y y 2 1y 2 的最大值 . 技巧七 、已知 x,y 为正实数,且 x 2 1,求 x 2 a 2b 2 分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab。 1 同时还应化简 1 y2 中 y2前面的系数为 2, x 1 y2x 2 2x 下面将 x, 分别看成两个因式: x x 2 ()2 x 2 3 即 x 1y2 2 x 3 2 2 2 4 4 1 技巧八:
11、已知 a, b 为正实数, 2b aba 30,求函数 yab的最小值 . 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用 单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因 已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过 解不等式的途径进行。 法一: a 302b ab 302b b 2 b 230b , b1 b1 b1 由 a 0得, 0b15 2t 234t31 16 16 t 令 tb+1,1t16,abt 2(t t ) 34t t 2 8 1 ab18 y
12、 18当且仅当t 4,即b 3,a6 时,等号成立。 法二:由已知得:30aba2b a2b2 2 ab 30ab 2 2 ab令 u ab 则 u 22 2u30 0, 5 2 u3 2 1 ab3 2 ,ab18, y18 点评:本题考查不等式 ab ab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力;如何由已知 不2 等式 ab a 2b 30 (a,b R )出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a b与 ab 之间的关系,由此想到 4 不等式 ab ab (a,b R ),这样将已知条件转换为含 ab的不等式,进而解得ab的范围 . 2 变式: 1.已知 a0,b0, ab(ab)
13、1,求 ab 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知 x, y 为正实数, 3x2y 10,求函数 W 3x 2y的最值 . aba 2b 2 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, 2 2 ,本题很简单 3x 2y 2() 2() 2 2 3 x2y2 5 解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向 “和为定值”条件靠拢。 W0, W 23x2y 2 3x 2y102 3x 2y10( 3x)2( 2y)2 10(3x2y)20 W 202 5 变式: 求函数 y 2x1 5 2x ( 1
14、x 5 ) 的最大值。 22 y 2 (2x1 5 2x ) 2 4 2 (2x1)(5 2x) 4 (2x1) (5 2x) 8 又y 0,所以0 y 2 2 当且仅当 2x1= 5 2x,即x 3 故 ymax 2 时取等号。2 。 2 评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。 总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技 巧,积极创造条件利用基本不等式。 应用二:利用基本不等式证明不等式 1已知a,b, c为两两不相等的实数,求证:a2b2c2abbcca 1)正数 a,b,c 满足 abc1,求证: (1a)(
15、1b)(1c)8abc 例 6:已知 a、b、cR ,且abc1。求证: 1 1 1 1 1 18 a b c 分析:不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘,又 1 1 1 abc2 bc ,可由此变形入手。 aaaa 解: a、b、cR ,abc1。 1 1 1 a b c 2 bc 。同理 1 1 2 ac ,1 1 2 ab a a a a b b c c 。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 1 1 1 2 2 2 1 bc ac ab 8 。当且仅当a b c 111时取等号。 a b c 3 a b c 应用三:基本不等式与恒成立问题 例:
16、已知 x 0, y 0且 1 x 9 y 1,求使不等式xym恒成立的实数 m 的取值范围。 5 解:令 x y k, x 0, y 0, 1 9 1, x y 9x 9 y 1. 10 y 9x 1 x y kx ky k kx ky 1 10 2 3 。k 16 , m ,16 k k 应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a b 1, P ,Q 1 (lg a lg b), R lg( a b ) ,则P,Q, R的大小关系是lg a lg b . 2 2 分析: a b 1lg a 0, lg b 0 Q 1 2 ( lg a lg b) lg a lg bp R lg( a
17、b ) lg 1 lg ab QRQP。ab 2 2 竞赛举例 : 6 x 2 x 2 x 2 例 1、已知求x证 ,x , ., x R , : 1 2 . n x x . x n 12 n x2 x3 12 x1 (1984年全国高中数学竞赛) 证法一:由已知和基本不等式 a b2ab(a, b R ) 2 ( x 2 x2) ( x 2 x3) . ( x xn) 2 x 2 x22 1 2 n 1 x2 x3 x1 x2 2( x1x2 . xn ) 移项即得证! 证法二:由已知和基本不等式a b2ab(a, b R ) a2 b 2 2ab a 2 2ab b2 a2 2a b b
18、x 2 2 x x , x 2 2 x x , . x 2 2 x x 1 2 n x x 2 1 2 x 3 2 3 n 1 1 左右分别相加即可得证! 例2、设为x两,x两,不.x相等的正整数,求 证: 1 2 n x x2 . xn 1 1 . 1 (第20届I MO ) 1 22 n2 2 n x 2 x 2 2 x 3 . n x x3 1 x1 证明:左边 ( x 1 ) ( x2 1 ) . ( xn 1 ) ( 1 1 . 1 ) x x n2 x x 1 2 2 2 n x x 2 n 1 1 2(1 1 . 1 ) ( 1 1 . 1 ) x 2 n x 2 x n 1 由
19、于为 x,两 x两,.不 x相等的正整数,不 妨设x x . x , 1 2 n 1 2 n 则则 x 1, x 2, , x n; (1 1 . 1 ) ( 1 1 . 1 ) 0 n 1 2 2 n x1 x2 xn 即得证! 此题可利用排序不等式证出!体会均值不等式与排序不等式关系: a2b2ab ba a2b2c 2 ab bcac a3b3c 3 a2b b2c c 2a abc abc abc3abc 分析:不等式右边各项 a i2 i ai i 1 2;可理解为两数之积,尝试用排序不等式. 设 b1,b2, ,bn是 a1 , a2 , , an的重新排列,满足 b1b2bn,
20、又1 2 1 2 3 1 2 n 1 2. 所以 a1 a2 a 3 an b1 b2 2 2 2 2 3 n 2 b11,b22,bnn. 从而 b1 2 b2 2 3 b3 2 n bn 2 .由于b1,b2, bn是互不相同的正整数,故 3 b3 2 n bn 2 1 1 2 1 n ,原式得证 . 7 评述:排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式, a2 b2 a b b a, a3 b3 c3 a2 b b2 c c2 a a ab b bc c ca a bc b ac c ab 3abc. 例3、在中, ABC三边长分别为求证: a,b,c, b 2c(b c) c2a
21、(c a) a2b(a b) 0 (第 24届 IMO ) 解:令代 a入 x左边 y,化 b简 y得:z,c z x , x, y, z R xy 3 yz3 zx3 xyz ( x y z )即要证 y2 z 2 x2 x y z即为例 1 的特例,可模仿证明。 z x y 例、若都是正数,则国际中学 4a,b,c a2 b 2 c 2 a b c .( 生循环赛题) b c c a a b 2 证明:由已知和均值不等式, a 2 b c a, b2 c a b b c 4 c a 4 c 2 a b c三式相加即得证。 a b 4 新课标数学选修 4-5 柯西不等式教学题库大全 一、二维
22、形式的柯西不等式 (a2b2 )(c2d 2 ) (ac bd )2 (a , b , c , dR , 当且仅当 adbc时,等号成立 .) 二、二维形式的柯西不等式的变式 (1)a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd (a , b , c , d R , 当且仅当ad bc时 ,等号成立 .) (2) a2 b2c2 d 2 ac bd (a , b , c , d R , 当且仅当 ad bc时,等号成立 .) (3)(ab)(cd ) ( ac bd )2(a , b , c , d 0 , 当且仅当 ad bc时,等号成立 .) 三、二维形式的柯西不等式的向量形式 . (当且仅当
23、是零向量或存,在实数使时 k等,号成立 k,.) 借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对 a2 + b2 + c2 ,并不是 不等式的形状,但变成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。 8 基本方法 (1)巧拆常数: 例 1:设a、b、c为正数且各不相等。求证: 2 2 2 9 a b b c c a a b c 分析:我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆,9= 111 2 ,2 abcabbcca 这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。 证明: 2 1 1 1 a b c b c a b c a
24、 1 1 1 a b c b c a b c a 1 a bb cc a b a 1 1 b c c a 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b b c c a a b b c c a 2 1 1 1 a b b c c a a b b c c a 1 1 1 2 9 2 2 2 9 a b b c c a a b c a,b,c 各不相等, 等号不可能成立,从而原不等式成立。 (2)重新安排某些项的次序: 例 2:a、b为非负数,a + b =1,x1, x2R求证:(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2 (ax1bx2)(bx1ax2) (ax1bx2 )(ax2bx1 ) ( a2
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- 竞赛 讲座 基本 不等式
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