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1、1 第一级(下) 行程问题短期班学生版 一、流水行船关键点“水速” 在流水行船问题中,我们的参考系将不再是速度为0 的参考系,因为水本身也是在流动的, 所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响,具体为: 顺水速度 =船速 +水速;逆水速度=船速 -水速(可理解为和差问题) 由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论: 船速 =( 顺水速度 +逆水速度 ) 2; 水速 =( 顺水速度 - 逆水速度 ) 2 此外,对于河流中的漂浮物,我们还会经常用到一个常识性性质,即:漂浮物速度=流水速度。 二、流水行船问题中的相遇与追及 1、两只船在河流中相遇问题,当甲、乙两船(甲在上游、乙在下游)在江河里相
2、向开出: 甲船顺水速度 +乙船逆水速度 =(甲船速 +水速)(乙船速- 水速) =甲船船速 +乙船船速 2、同样道理,如果两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,与水速无关 甲船顺水速度 - 乙船顺水速度 =(甲船速 +水速) - (乙船速 +水速) =甲船速 - 乙船速 也有:甲船逆水速度- 乙船逆水速度=(甲船速 - 水速) - (乙船速 -水速) =甲船速 - 乙船速 说明:两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样,与水速没有 关系 知识互联网 行程问题 题型一:流水行船 2 第一级(下) 行程问题短期班学生版 三、扶梯问题说明 扶梯问题与流水行船问
3、题十分相像,区别只在与这里的速度并不是我们常见的“千米每小时”, 或者“米每秒”,而是“每分钟走多少个台阶”,或是“每秒钟走多少个台阶”。从而在扶梯问题中 “总路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”,而是求扶梯的“静止时可见台阶总数” 四、扶梯问题解题关键 1、当人顺着扶梯的运动方向走台阶时,相当与流水行船中的“顺水行驶”,这里的水速就是扶梯自身 的台阶运行速度。有:人的速度+扶梯速度 =人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=时间人速 +时间扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数 2、当人沿着扶梯逆行时,有:人的速度- 扶梯速度 =人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=
4、时间人速 - 时间扶梯速=人走的台阶数- 扶梯自动运行的台阶数 【例 1】 甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而行相遇时, 甲、乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达 B地,乙到达A地后,都立即按原来 路线返航, 两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1千米 如果从第一次相遇到第二次相遇时间 相隔1小时 20 分,则河水的流速为多少? 【解析】 第一次相遇时两船航程相等,所以两船速度相等, 即 V VVV 乙甲 水水,得 2VVV 乙甲 水 ;第 一次相遇后两船继续前行,速度仍然相等,所以会同时到达 A、B两地,且所用时间与从出 发到第一次相遇所用时间相同,所行
5、的路程也相等;从两船开始返航到第二次相遇,甲、乙 两船又共行驶了 A、B单程,由于两船的速度和不变,所以所用的时间与从出发到第一次相 遇所用时间相同,故与从第一次相遇到各自到达A、B两地所用的时间也相同,所用的时间 为: 42 2 33 ( 小时 ) ;返回时两船速度差为: 4VVVVV 乙甲水水水,故 2 41 3 V水, 得 3 8 V水( 千米 / 时 ) 火车过桥问题 1、火车过桥(隧道) :一个有长度、有速度,一个有长度、但没速度, 解法:火车车长桥( 隧道 ) 长度 ( 总路程 ) 火车速度通过的时间; 2、火车树 ( 电线杆 ) :一个有长度、有速度,一个没长度、没速度, 解法:
6、火车车长( 总路程 ) 火车速度通过时间; 3、火车人:一个有长度、有速度,一个没长度、但有速度, 火车迎面行走的人:相当于相遇问题, 解法:火车车长( 总路程 ) ( 火车速度人的速度 ) 迎面错过的时间; 火车同向行走的人:相当于追及问题, 解法:火车车长( 总路程 ) ( 火车速度人的速度 ) 追及的时间; 火车坐在火车上的人:火车与人的相遇和追及问题 解法:火车车长( 总路程 ) ( 火车速度人的速度 ) 迎面错过的时间(追及的时间); 思路导航 例题赏析 题型二:火车过桥 3 第一级(下) 行程问题短期班学生版 4、火车火车:一个有长度、有速度,一个也有长度、有速度, 错车问题:相当
7、于相遇问题, 解法:快车车长慢车车长( 总路程 ) ( 快车速度慢车速度 ) 错车时间; 超车问题:相当于追及问题, 解法:快车车长慢车车长( 总路程 ) ( 快车速度慢车速度 ) 错车时间; 【例 2】 某日,学而思老师集体出游,大家在火车上玩起抢幸运数的游戏到国宇老师出题时,国宇 老师在纸上任性写下“火车长度即谜底”的纸条递给了主持人猩猩老师猩猩老师嘀咕到,“我 怎么知道这火车长度呢”,此时宗辉老师支招到,“我刚刚看过标识牌又测了一下咱们火车完 全通过一条340米的隧道用了35秒,又完全通过一座长646米的大桥用了53秒,你知道了 吧?”“原来如此。”猩猩老师得意一笑,请问: 你知道这列火
8、车的长度是多少米吗? 如果这列火车通过一根笔直的电线杆需要多少秒? 【解析】 速度:646340533517(米 /秒) 长度: 1735340255 (米) 25517=15(秒) 【例 3】 一列长110 米的列车,以每小时30 千米的速度向北驶去,14 点 10 分火车追上一个向北走 的工人, 15 秒后离开工人,14 点 16 分迎面遇到一个向南走的学生,12 秒后离开学生问工 人、学生何时相遇? 米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走,一列货车从后面开过来,8:00 货车追上了米老鼠, 又过了 30 秒,货车超过了它;另有一列客车迎面驶来,9:30 客车和米老鼠相遇,又过了12 秒客车离开
9、了它如果客车的长度是货车的2 倍,客车的速度是货车的3 倍请问:客车和 货车什么时间相遇?两车错车需要多长时间? 【解析】 火车速度: 30 千米 / 小时 = 25 3 (米 / 秒) ; 工人速度: 25 15110151 3 (米 / 秒) ; 学生速度: 255 1101212 36 (米 / 秒) ; 从 14 点 16 分算起,工人、学生相遇所需时间, 2552211 161624 3636 (分) 所以工人、学生在14 时 40 分相遇 答:工人、学生14 时 40 分相遇 设米老鼠速度是a,货车速度是b,则客车速度是3b,货车车长c,则客车车长2c 1 2 cba 例题赏析 4
10、 第一级(下) 行程问题短期班学生版 1 23 5 cba 得, 2ab , 2 a c , 9:30 时,货车距离米老鼠90( bc) ,即 270c, 此时客车与货车距离等于货车与米老鼠距离,即270c, 可得 270c=(3bb) t,得 t=33. 75 客车和货车在10:03 又 45 秒相遇 3c=t( 3bb) ,得 t=0. 375 两车错车需要22. 5 秒时间 答:客车和货车在10:03 又 45 秒相遇,两车错车需要225 秒 【例 4】 梁邦文老师家在两路口,如果骑车到学而思工贸教学点,每隔3 分钟就能见到一辆332 路公 共汽车迎面开来; 如果步行到工贸教学点,每隔
11、4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来 已 知任意两辆332 路汽车的发车间隔都是一样的,并且梁邦文老师骑车速度是梁邦文老师步行 速度的 3倍,那么如果梁邦文老师乘332路汽车到工贸教学点的话,每隔几分钟能见到一辆 332 路公共汽车迎面开来 【解析】 可设梁邦文老师步行的速度为V步,公交的速度为V车,则梁邦文老师骑车的速度=3V步, 由此可得: 334VVVV 车车 步步 ,解得: 5VV车 步 24 3 35552.4 10 V VVVV V 步 步步步步 步 (分钟) 答:梁邦文老师坐332 路汽车到人大附中的话,每隔2. 4 分钟就能见到一辆332 路公共汽车 迎面开来 【例 5】国
12、涛老师上午八时多开始做早餐时,钟表上的时针和分针正好重合在一起九时多做完早餐时时针和分 针恰好又重合在一起国涛老师花了多长时间做完早餐的? 【解析】 7 40156043 11 (分) , 8 点多时针与分针正好重合在一起的时间是: 7 843 11 8 时 7 43 11 分, 1 45156049 11 (分) , 9 点多时针与分针正好重合在一起的时间是: 1 949 11 9 时 1 49 11 分 答:国涛老师花了1 小时 5 5 11 分做完早餐 题型三:多个对象间的行程问题 5 第一级(下) 行程问题短期班学生版 多人相遇追及的解题关键去掉多余人,分析路程差 多次相遇追及的解题关
13、键几个全程 多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发:第1 次相遇,共走1 个全程; 第 2 次相遇,共走3 个全程; 第 3 次相遇,共走5 个全程; ,; 第 N 次相遇,共走2N- 1 个全程; 注意:除了第1 次,剩下的次与次之间都是2 个全程。即甲第1 次如果走了N 米,以后每次都走2N 米 2. 同地同向出发:第1 次相遇,共走2 个全程; 第 2 次相遇,共走4 个全程; 第 3 次相遇,共走6 个全程; ,; 第 N 次相遇,共走2N 个全程 【例 6】 从 A 城到 B 城有一段公路,分成三段,在第一段上,汽车速度是每小时40 千米在第二段 上,汽车速度是每小时90 千米,在第三段上,汽车速度是每小时50 千米已知第一段公路 的长恰好是第三段的2 倍,现在有两辆汽车分别从A、B 两城同时出发,相向而行,1 小时 20 分后,在第二段的处相遇,那么A、B 两城相距多少千米? 【解析】 根据题意可知第一段速度慢,那么相遇时是在离A 城近的地方相遇 设第三段公路长x 千米,那么第一段公路长2x 千米,由题意得: 1 小时 20 分= 4 3 小时 42411 1 34035033 xx : 424 1 2 340350 xx : 424 2 340350 xx 84 310350 xx 50 3 x 例题赏析 思路导航
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