高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合:第4节数列求和之并项求和与分组求和法.pdf
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1、第 4 节 并项求和与分组求和法 【基础知识】 1分组转化求和法:有一类数列 nn ab,它既不是等差数列,也不是等比数列,但是数 列, nn ab是等差数列或等比数列或常见特殊数列,则可以将这类数列适当拆开,可分为 几个等差、等比数列或常见的特殊数列,然后分别求和,再将其合并即可. 2并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如 1 n n afn类型,可采用两项合并求解例如, 222222 10099989721 n S1009998972 15050. 【规律技巧】 常见可以使用公式求和的数列:(1) 等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通 过加、减构成的
2、数列,它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解;(2) 奇数项和偶 数项分别构成等差数列或等比数列的,可以分项数为奇数和偶数时,分别使用等差数列或等 比数列的求和公式 【典例讲解】 【例 1】 设数列 an 满足a12,a2a4 8,且对任意nN *,函数 f(x) (anan1 an2)xan1cos xan2sin x满足f 2 0. (1) 求数列 an 的通项公式; (2) 若bn2an 1 2an ,求数列 bn的前n项和Sn. 【变式探究】在等差数列 an 中,已知公差d2,a2是a1与a4的等比中项 (1) 求数列 an 的通项公式; (2) 令bnan( n1) 2 ,记T
3、nb1b2b3b4 (1) nb n,求Tn. 【针对训练】 1、求数列的前n 项和:23 1 ,7 1 , 4 1 , 11 12 n aaa n , 解:设)23 1 ()7 1 ()4 1 ()11 ( 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 )23741() 111 1 ( 12 n aaa S n n (分组) 当 a1 时, 2 ) 13(nn nSn 2 )13(nn (分 组求和) 当1a时, 2 ) 13( 1 1 1 1 nn a a S n n 2 ) 13( 1 1 nn a aa n 2、求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n 项和 . 解:设kk
4、kkkkak 23 32)12)(1( n k n kkkS 1 )12)(1()32( 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得 Snkkk n k n k n k1 2 1 3 1 32 (分组) )21()21 (3)21(2 222333 nnn 2 ) 1( 2 ) 12)(1( 2 )1( 22 nnnnnnn (分组求和) 2 )2() 1( 2 nnn 【巩固提升】 1数列 an 满足anan 11 2( nN *) ,且 a11,Sn是数列 an的前n项和,则S21 ( ) A. 21 2 B 6 C10 D11 2已知函数f(n) n 2cos( n) ,且an
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