(通用版)2020高考数学一轮复习2.1函数及其表示讲义理.pdf
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1、1 第一节函数及其表示 1函数与映射 函数映射 两集合 A, B 设 A,B 是非空的数集设 A,B 是非空的集合 对应关系f: AB 如果按照某种确定的对应关系f,使对 于集合 A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f,使 对于集合A 中的任意一个元素x,在 集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之 对应 名称 称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数 称对应 f:AB 为从集合A 到集合 B 的一个映射 记法yf(x),xA 对应 f: AB 是一个映射 2函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域:在函数y f(x),xA
2、中,x 叫做自变量, x 的取值范围A 叫做 函数的定义域 ? ;与 x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的 值域 ? .显然,值域是集合B 的子集 (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系 (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是 判断两函数相等的依据 (4)函数的表示法:解析法、图象法、列表法 3分段函数 ? 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义,或从实际出发 (2)如果函数yf(x)用表格给出,则表格中x 的集合
3、即为定义域 (3)如果函数yf(x)用图象给出, 则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域. 值域是一个数集,由函数的定义域和对应关系共同确定 (1)分段函数虽由几个部分构成,但它表示同一个函数 (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集 (3)各段函数的定义域不可以相交. 熟记常用结论 (1)若 f(x)为整式,则函数的定义域为R; (2)若 f(x)为分式,则要求分母不为0; 2 (3)若 f(x)为对数式,则要求真数大于0; (4)若 f(x)为根指数是偶数的根式,则要求被开方式非负; (5)若 f(x)描述实际问题,则要求使实际问题有意义 如果 f(x)是
4、由几个部分的数学式子构成的,求定义域常常等价于解不等式(组) 小题查验基础 一、判断题 (对的打 “” ,错的打 “” ) (1)对于函数f:AB,其值域是集合B.() (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数() (3)函数是一种特殊的映射() (4)若 AR,B(0, ),f:xy |x|,则对应f 可看作从A 到 B 的映射 () (5)分段函数是由两个或几个函数组成的() 答案 :(1)(2)(3)(4)(5) 二、选填题 1下列图形中可以表示为以Mx|0x1为定义域,以N y|0y1 为值域的函 数的是 () 解析: 选 CA 选项,函数定义域为M,但值域不是N,B
5、 选项,函数定义域不是M, 值域为 N,D 选项,集合M 中存在 x 与集合 N 中的两个y 对应,不能构成函数关系故选 C. 2下列函数中,与函数y x1 是相等函数的是() Ay(x1) 2 By 3 x 3 1 Cy x 2 x 1 Dyx21 解析: 选 B对于 A,函数 y(x1)2的定义域为 x|x1,与函数 yx1 的定义 域不同,不是相等函数;对于B,定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数 y x 2 x 1 的定义域为 x|x0 ,与函数 y x1 的定义域不同,不是相等函数;对于D,定义 域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B. 3函数 f(x)2 x 11
6、 x2的定义域为 _ 解析: 由题意得 2 x10, x2 0, 解得 x0 且 x 2. 3 答案: 0,2)(2, ) 4若函数f(x) e x1,x1, 5x 2,x1, 则 f(f(2)_. 解析: 由题意知, f(2) 541,f(1) e 0 1, 所以 f(f(2)1. 答案: 1 5已知函数f(x)ax 3 2x 的图象过点 (1,4),则 f(2)_. 解析: 函数 f(x)ax 32x 的图象过点 (1,4) 4 a2, a 2,即 f(x) 2x32x, f(2) 22 3 22 20. 答案: 20 考点一求函数的解析式师生共研过关 典例精析 (1)已知 f 2 x1
7、lg x,求 f(x)的解析式 (2)已知 f(x)是二次函数,且f(0)0,f(x1)f(x)x1,求 f(x)的解析式 (3)已知函数f(x)满足 f(x)2f(x)2 x,求 f(x)的解析式 解(1)(换元法 )令 2 x 1t,得 x 2 t1, 代入得 f(t)lg 2 t1,又 x0,所以 t1, 故 f(x)的解析式是f(x)lg 2 x1,x(1, ) (2)(待定系数法 )设 f(x) ax 2bxc(a0), 由 f(0)0,知 c0,f(x)ax2bx, 又由 f(x 1) f(x)x1, 得 a(x 1)2b(x1)ax2bxx1, 即 ax 2 (2ab)xa ba
8、x2(b1)x1, 所以 2abb1, ab1, 解得 ab 1 2. 所以 f(x) 1 2x 21 2x,xR. (3)(解方程组法 )由 f(x)2f(x)2 x, 4 得 f(x)2f(x)2 x, 2,得3f(x) 2 x12x. 即 f(x)2 x12x 3 . 故 f(x)的解析式是f(x) 2 x12x 3 ,xR. 解题技法 求函数解析式的3 种方法及口诀记忆 待定系数法当函数的特征已经确定时,一般用待定系数法来确定函数解析式 换元法 如果给定复合函数的解析式,求外函数的解析式,通常用换元法将 内函数先换元,然后求出外函数的解析式 解方程组法 如果给定两个函数的关系式,可以通
9、过变量代换建立方程组,再通 过方程组求出函数解析式 口诀记忆 解析式,如何定,待定换元解方程; 已知函数有特征,待定系数来确定; 复合函数问根源,内函数,先换元; 两个函数有关系,方程组中破玄机. 过关训练 1口诀第 3 句已知函数f(x1) x x1 ,则函数f(x)的解析式为 () Af(x) x1 x2 Bf(x) x x1 Cf(x) x1 x Df(x) 1 x2 解析: 选 A令 x 1t,则 xt1, f(t) t1 t2, 即 f(x)x1 x2.故选 A. 2口诀第2 句若二次函数g(x)满足g(1)1,g(1)5,且图象过原点,则g(x) _. 解析: 设 g(x)ax 2
10、bxc(a0), g(1)1, g(1)5,且图象过原点, abc 1, abc 5, c0, 解得 a3, b 2, c0, g(x)3x 22x. 答案: 3x22x 5 3口诀第 4 句已知 f(x)满足 2f(x)f 1 x 3x,则 f(x)_. 解析: 2f(x) f 1 x 3x, 把中的 x 换成 1 x,得 2f 1 x f(x)3 x. 联立可得 2f x f 1 x 3x, 2f 1 x f x 3 x, 解此方程组可得f(x) 2x1 x(x0) 答案 :2x 1 x(x0) 考点二函数的定义域全析考法过关 考法全析 考法 (一)已知函数解析式求定义域 例 1求下列函数
11、的定义域: (1)f(x) |x2|1 log2x1 ;(2)f(x) ln x 1 x23x 4. 解(1)要使函数f(x)有意义,则 |x 2|10, x10, x11, 解不等式组得x3. 因此函数 f(x)的定义域为 3, ) (2)要使函数f(x)有意义,则 x10, x23x40, 即 x1, x4 x1 0, 解不等式组得1x1. 因此函数 f(x)的定义域为 (1,1) 考法 (二)求抽象函数的定义域 例 2已知函数f(x)的定义域为 (1,1),则函数g(x)f x 2 f(x1)的定义域为 () A(2,0)B(2,2) C(0,2) D. 1 2,0 6 解析 由题意得
12、1 x 2 1, 1x11, 2 x2, 0x2, 0x2,函数g(x) f x 2 f(x1)的定义域为 (0,2),故选 C. 答案 C 考法 (三)已知函数的定义域求参数的值(范围 ) 例 3(1)若函数 y mx1 mx 24mx3的定义域为 R,则实数m 的取值范围是 () A. 0, 3 4 B. 0, 3 4 C. 0, 3 4 D. 0, 3 4 (2)若函数 f(x)ax 2abxb的定义域为 x|1x2,则 ab 的值为 _ 解析 (1)函数 y mx 1 mx 24mx3的定义域为R, mx 2 4mx30, m0 或 m0, 16m 212m 0, 即 m0 或 0m
13、3 4, 实数 m 的取值范围是0, 3 4 . (2)函数 f(x)ax 2abxb的定义域为 x|1x2, a0, f 1 0, f 2 0, 解得 a 3 2, b 3, ab 9 2. 答案 (1)D(2) 9 2 规律探求 看个性 考法 (一)是根据具体的函数解析式求定义域,已知解析式的函数,其定义域是 使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变 量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可 考法 (二)是求抽象函数的定义域,有如下解法: (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域由不等式 ag(x)b 求出; 7 (2) 若
14、已知函数f(g(x) 的定义域为 a,b,则f(x) 的定义域为g(x) 在xa, b上的值域 考法 (三)是考法 (一)的逆运用,通常是转化为含参数的不等式求解 找共性 1.谨记函数定义域的有关口诀 定义域,是何意,自变量,有意义; 分式分母不为零,对数真数只取正; 偶次根式要非负,三者结合生万物; 和差积商定义域,不等式组求交集. 2.函数定义域问题注意事项 (1)函数 f(g(x)的定义域指的是x 的取值范围,而不是g(x)的取值范围; (2)求函数的定义域时,对函数解析式先不要化简; (3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式; (4)函数 f(x) g(x)的定义域是函
15、数f(x), g(x)的定义域的交集 过关训练 1口诀第 1、2、3、4 句y x 1 2x log2(4x2)的定义域是 ( ) A(2,0)(1,2)B(2,0(1,2) C(2,0)1,2) D2,01,2 解析: 选 C要使函数有意义,则 x1 2x 0, x0, 4x 20, 解得 x(2,0)1,2), 即函数的定义域是(2,0)1,2) 2口诀第 1 句已知函数 yf(x 21)的定义域为 3,3 ,则函数 yf(x)的定义域 为_ 解析: 因为 yf(x21)的定义域为 3, 3,所以 x 3,3 ,x211,2, 所以 y f(x)的定义域为 1,2 答案 : 1,2 3口诀
16、第 1、3 句若函数 f(x)x 2ax1的定义域为实数集 R,则实数a 的取值范 围为 _ 解析: 若函数 f(x)x2ax1的定义域为实数集R, 则 x2ax10 恒成立,即 a24 0,解得 2a2, 即实数 a 的取值范围是 2,2 8 答案: 2,2 考点三分段函数 全析考法过关 考法全析 考法 (一)分段函数求值 例 1(1)(2019石家庄模拟 )已知 f(x) 1 3 x,x0, log3x,x0, 则 f f 1 9 _. (2)已知 f(x) x3,x9, f f x4 ,x9, 则 f(7)_. 解析 (1)f 1 9 log31 9 2, f f 1 9 f(2) 1
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