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1、小学数学奥数解题技巧 1 10、余数问题 【求余数】 (1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题) 一组,就可得到 331 组,尚余 4 个 6。 而 66667=9522。所以,原式的余数是2。 例 2 9437569 与 8057127的乘积被 9 除,余数是 _。 (现代小学数学邀请赛试题) 讲析:一个数被 9 除的余数与这个数各位数字之和被9 除的余数 是一样的。 9437569各位数字之和除以9 余 7; 8057127各位数字之和除以9 余 3。 73=21,219=23。 所以, 9437569与 8057127的乘积被 9 除,余数是 3。 小学数学奥数解题技巧 2 例 3
2、 在 1、2、3、4、 1993、1994 这 1994 个数中,选出 一些数,使得这些数中的每两个数的和都能被26 整除,那么这样的 数最多能选出 _个。 (1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题) 讲析:可将 1、2、3、 1994 这 1994 个数,分别除以26。 然后,按所得的余数分类。 要使两个数的和是26 的倍数,则必须使这两个数分别除以26 以 后,所得的余数之和等于26。 但本题要求的是任意两个数的和都是26 的倍数,故 26 的倍数符 合要求。这样的数有199426=76(个)余 18(个)。但被 26 除余 13 的数,每两个数的和也能被26 整除,而余数为 13 的数共
3、有 77 个。 所以,最多能选出77 个。 【同余问题】 例 1 一个整数,除 300、262、205,得到相同的余数(余数不为 0)。这个整数是 _。 (全国第一届“华杯赛”初赛试题) 小学数学奥数解题技巧 3 讲析:如果一个整数分别除以另两个整数之后,余数相同,那么 这个整数一定能整除这两个数的差。因此,问题可转化为求(300 262)和(262205)的最大公约数。 不难求出它们的最大公约数为19,即这个整数是 19。 例 2 小张在计算有余数的除法时, 把被除数 113 错写成 131,结 果商比原来多 3,但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少?(1989 年上海市小学数学竞赛试题)
4、讲析:被除数增加了131-113=18,余数相同,但结果的商是3, 所以,除数应该是 183=6。又因为 1136 的余数是 5,所以该题的 余数也是 5。 例 3 五只猴子找到一堆桃子,怎么也平分不了,于是大家同意 去睡觉,明天再说。夜里,一只猴子偷偷起来,吃掉一只桃子,剩下 的桃子正好平分五等份,它拿走自己的一份,然后去睡觉;第二只猴 子起来,也吃掉一只桃子, 剩下的桃子也正好分成五等份,它也拿走 了自己的一份,然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问: 最初至少有 _个桃子。 (哈尔滨市小学数学竞赛试题) 讲析:因为第一只猴子把桃5 等分后,还余 1 个桃;以后每只猴 子来时,都是把
5、前一只猴子剩下的4 等份再分成 5 等份,且每次余 1 小学数学奥数解题技巧 4 个桃子。于是,我们可设想,如果另加进4 个桃子,则连续五次可以 分成 5 等份了。 加进 4 个桃之后,这五只猴每次分桃时,不再吃掉一个,只需5 等份后,拿走一份。 因为 4 与 5 互质,每次的 4 份能分成 5 等份,这说明每次等分出 的每一份桃子数,也能分成5 等份。这样,这堆桃子就能连续五次被 5 整除了。所以,这堆桃子至少有55555-4=3121(个)。 例 4 在 1、2、3、30 这 30 个自然数中,最多能取出 _ 个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7 的倍数。 (上海市第五届小学数学竞赛试题) 讲析:我们可将 1 到 30 这 30 个自然数分别除以7,然后按余数 分类。 余数是 0:7、14、21、28 余数是 1:1、8、15、22、29 余数是 2:2、9、16、23、30 余数是 3:3、10、17、24 余数是 4:4、11、18、25 小学数学奥数解题技巧 5 余数是 5:5、12、19、26 余数是 6:6、13、20、27 要使两数之和不是7 的倍数,必须使这两个数分别除以7 所得的 余数之和不等于 7。 所以,可以取余数是1、2、3 的数,不取余数是4、5、6 的数。 而余数为 0 的数只取一个。 故最多可以取 15 个数。
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