难点突破:立体图形的外接球与内切球问题.pdf
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1、2018 届高三数学第一轮复习教学案18:难点突破:立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念: 1球的截面:用一个平面去截球,截面是圆面;用一个平面去截球面,截面是圆 大圆:截面过球心,半径等于球半径(截面圆中最大);小圆:截面不过球心 2球心和截面圆心的连线垂直于截面 3球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系: 222 Rdr 4几何体的外接球:几何体的顶点都在球面上;几何体的内切球:球与几何体的各个面都相切 二、多面体的外接球(球包体) 模型 1:球包直柱(直锥) :有垂直于底面的侧棱(有垂底侧边棱) 球 包 直 柱 球径公式: 2 2 2 h Rr, (r为底面外接圆半
2、径) 球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱 球 包 直 锥 三 棱 锥 四 棱 锥 r 速 算 模型 2: “顶点连心”锥:锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心(两心一顶连成线) 实例:正棱锥 球径计算方程: 2 22 hRrR 22 22 20 2 hr hhRrR h , (h为棱锥的高,r为底面外接圆半径) 特别地, (1)边长为a正四面体的外接球半径:R_ (2)底面边长为a,高为h的正三棱锥的外接球半径:R_ (3)底面边长为a,高为h的正四棱锥的外接球半径:R_ 例:1 (2017 年全国卷III 第 8 题)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同
3、一个球的球面上,则该圆 柱的体积为 AB 3 4 C 2 D 4 【解析】模式辨识: “球包体”中的“垂底侧边棱(母线)”类型,1h,1R,底面半径为r,则由 2 2 2 h Rr 得: 2 222 13 1 24 rr, 23 4 Vr h 2 (2010 年全国新课标卷第10 题)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球 的表面积为 A 2 aB 2 7 3 aC 2 11 3 aD 2 5 a 【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型,ha, 3 3 ra, 2 222 227 24312 haaa Rr, 所以该球的表面积 22 277 44 123 aa
4、 SR答案 B 3 (2014 年全国大纲卷第8 题)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面 积为 A 81 4 B16C9D 27 4 【解析】模式辨识: “球包体”中的“顶点连心锥”,4h, 22 2 2 r,则 22 1629 284 hr R h , 所以 2 8181 44 164 SR,答案: A 4 (2013 年全国卷I 第 6 题)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将 一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积 为 A 3500 3 cmB 3866 3 c
5、mC 31372 3 cmD 32048 3 cm 【解析】设水面与球的接触点(切点)为P,球心为O,则PO垂直于正方体的上表面,依题意P到正方体上表面的 距离为2h,球与正方体上表面相交圆的半径4r,有: 2 22 2RrR, 2 4 5 4 r R,所以球的体积 34500 33 VR 三、定心大法:球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上 两圆定心法:如下图,过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线,由两垂线的交点 确定圆心 例 2:1已知边长为2 3的棱形ABCD中,60,现沿对角线BD折起,使得二面角ABDC为120,此 时点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的表面积为(
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