含参数的线性规划与非线性规划问题(含解析)高三数学备考冲刺.pdf
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1、问题 11 含参数的线性规划与非线性规划问题性 一、考情分析 线性规划是高考必考问题, 常有以下几种类型: (1)平面区域的确定问题;(2)区域面积问题; (3)最值问 题; (4)逆向求参数问题而逆向求参数问题, 是线性规划中的难点, 其主要是依据目标函数的最值或可行 域的情况决定参数取值 二、经验分享 (1) 求平面区域的面积: 首先画出不等式组表示的平面区域, 若不能直接画出, 应利用题目的已知条件转化为不等式组问题, 从而 再作出平面区域; 对平面区域进行分析, 若为三角形应确定底与高, 若为规则的四边形( 如平行四边形或梯形), 可利用面积 公式直接求解, 若为不规则四边形, 可分割
2、成几个三角形分别求解再求和即可 (2) 利用几何意义求解的平面区域问题, 也应作出平面图形, 利用数形结合的方法去求解 (3) 先准确作出可行域, 再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值当目标函数是非线性的函数时, 常 利用目标函数的几何意义来解题. (4) 当目标函数中含有参数时, 要根据临界位置确定参数所满足的条件, 含参数的平面区域问题, 要结合直线 的各种情况进行分析, 不能凭直觉解答, 目标函数含参的线性规划问题, 要根据z的几何意义确定最优解, 切 忌搞错符号 三、知识拓展 常见代数式的几何意义: x 2 y 2表示点 ( x,y) 与原点 (0,0) 的距离 ,xa 2 yb
3、2表示点 ( x,y) 与点 (a,b) 的距离; y x表示点 (x,y) 与原点 (0,0) 连线的斜率 , yb xa表示点 (x,y) 与点 (a, b) 连线的斜率 四、题型分析 类型一目标函数中含参数 若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数取得最值时所经过的可行 域内的点(即最优解) ,将点的坐标代入目标函数求得参数的值 1目标函数中x的系数为参数 【例 1】x, y满足约束条件 ,若 zyax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为 _. 【答案】2或1 【解析】如图,画出线性约束条件所表示的可行域,坐出直线yax,因此要使线性目标函数取得最大值
4、的最优解不唯一, 直线yax的斜率,要与直线或的斜率相等, 2a或 1 【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系通过本题应进一步明确两点:( 1)线性规划 问题可能没有最优解;( 2)当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时,线性规划问题可 以有无数个最优解 【牛刀小试】已知 , x y满足约束条件 0 2 0 xy xy y ,若z axy的最大值为 4,则a_. 【答案】 2 【解析】将zaxy化为zaxy,作出可行域(如图所示),当0a时,当直线zaxy向右 下方平移时,直线zaxy在y轴上的截距z减少,当直线zaxy过原点时, 0 max z(舍) ;当 0a时
5、,当直线 zaxy向右 上方平移时, 直线zaxy在y轴上的截距z增大,若 01a, 即10a时,当直线zaxy过点)1 , 1(B时, 解得3a(舍), 当1a,即1a 时,则当直线zaxy过点 )0,2(A 时,解得2a 【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是:先画出可行域,再结合目标函数的几何意义进行解决, 往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度,如本题中, 不仅要讨论斜率a的符号, 还 要讨论斜率a与边界直线斜率1的大小关系 . 2目标函数中y的系数为参数 【例2】已知变量 , x y满足约束条件 若目标函数的最大值为1,则 a 【答案】 3 【解析】 约束条件所满
6、足的区域如图所示,目标函数过B (4, 1)点是 取得最大值, 141a,3a 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数的值 3目标函数中, x y的系数均含参数 【例 3】设x,y满足约束条件 2 21 x xy yx ,若目标函数的最小值为2,则ab的 最大值为 【答案】 4 1 【 解 析 】 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 阴 影 部 分 , 易 求 得, 要 目 标 函 数 的最小值为2,222ba,即1ba,当且仅当 2 1 ba 等号成立故ab的最大值为 4 1 【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用应明确若可行域是封闭的多边
7、形,最优解一 般在多边形的顶点处取得应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”,缺一不可 【牛刀小试】设xy,满足约束条件,若目标函数的最大值为12, 则 ba 32 的最小值为 _. 【答案】 6 25 【解析】作出xy,满足约束条件下平面区域,如图所示,由图知当目标函数经过 点4,6A取 得 最 大 值12 , 即, 亦 即2 36ab , 所 以 ,当且仅当 ba ab ,即 6 5 ab时等号成立 【评注】运用线性规划求解最值时,关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜 率之间的大小关系,以好确定在哪个端点,目标函数取得最大值,在哪个端点,目标函数取得最小值;已知
8、 axbym 求的最小值,通常转化为 cd xy 1 () cd mxy (axby) ,展开后利用基本不等式求解 4目标函数为非线性函数且含有参数 【例 4】设不等式组 01 ,0 , 4 x xy yx 表示的平面区域为 D 若圆0r不经过区域 D上的点,则 r 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 不等式对应的区域为ABE圆心为( 1, 1),区域中 A到圆心的距离最小,B到圆心的距离最大, 要使圆不经过区域D,则有0 rAC 或r BC 由 1x yx 得 1 1 x y ,即 (1,1)A 由 1 4 x yx , 得 1 3 x y ,即(1,3)B2 2AC,2 5BC, 02
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