小学奥数基础教程(三年级).pdf
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1、1 小学奥数基础教程(三年级) 第 1 讲 加减法的巧算 第 2 讲 横式数字谜 ( 一) 第 3 讲 竖式数字谜 ( 一) 第 4 讲 竖式数字谜 ( 二) 第 5 讲 找规律 ( 一) 第 6 讲 找规律 ( 二) 第 7 讲 加减法应用题 第 8 讲 乘除法应用题 第 9 讲 平均数 第 10 讲 植树问题 第 11 讲 巧数图形 第 12 讲 巧求周长 第 13 讲 火柴棍游戏 ( 一) 第 14 讲 火柴棍游戏 ( 二) 第 15 讲 趣题巧解 第 16 讲 数阵图 ( 一) 第 17 讲 数阵图 ( 二) 第 18 讲 能被 2,5 整除的数的特征 第 19 讲 能被 3 整除的数
2、的特征 第 20 讲 乘、除法的运算律和性质 第 21 讲 乘法中的巧算 第 22 讲 横式数字谜 ( 二) 第 23 讲 竖式数字谜 ( 三) 第 24 讲 和倍应用题 第 25 讲 差倍应用题 第 26 讲 和差应用题 第 27 讲 巧用矩形面积公式 第 28 讲 一笔画 ( 一) 第 29 讲 一笔画 ( 二) 第 30 讲 包含与排除 2 第 2 讲 横式数字谜 ( 一) 在一个数学式子 ( 横式或竖式 ) 中擦去部分数字,或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式, 叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。 例如,求算式324+=528 中
3、所代表的数。 根据“加数 =和- 另一个加数”知, =582-324 258。 又如,求右竖式中字母A,B 所代表的数字。显然个位数相减时必须借位,所以,由12-B5 知, B12-5 7;由 A-13 知, A314。 解数字谜问题既能增强数字运用能力,又能加深对运算的理解,还是培养和提高分析问题能力的有效 方法。 这一讲介绍简单的算式( 横式 ) 数字谜的解法。 解横式数字谜,首先要熟知下面的运算规则: (1) 一个加数 +另一个加数 =和; (2) 被减数 -减数 =差; (3) 被乘数乘数 =积; (4) 被除数除数 =商。 由它们推演还可以得到以下运算规则: 由(1) ,得 和- 一
4、个加数 =另一个加数; 其次,要熟悉数字运算和拆分。例如,8 可用加法拆分为 80817263544; 24 可用乘法拆分为 24124=2123846( 两个数之积 ) =1212226=( 三个数之积 ) =12262223=( 四个数之积 ) 例 1 下列算式中,* 各代表什么数? (1) +513-6 ; (2) 28- 157; (3) 3 =54; (4) 387; (5) 56*7。 解: (1) 由加法运算规则知,=13-6-5 2; (2) 由减法运算规则知,28-(15 7)6; (3) 由乘法运算规则知,54318; (4) 由除法运算规则知,=873261; (5) 由
5、除法运算规则知,*5678。 例 2 下列算式中,各代表什么数? (1) +=48; (2) 621- ; (3) 5 -18 612; (4) 63-45 13。 解: (1) 表示一个数,根据乘法的意义知, +=3, 故 =48316。 (2) 先把左端 ( 6)看成一个数,就有 ( 6) 21, 3 321-6 , 1535。 (3) 把 5, 186 分别看成一个数,得到 5 =12186, 5 =15, =1553。 (4) 把 63,45分别看成一个数,得到 45 63-13 , 45 5, 4559。 例 3(1) 满足 5812 71 的整数等于几? (2) 180 是由哪四个
6、不同的且大于1 的数字相乘得到的?试把这四个数按从小到大的次序填在下式的里。 180=。 (3) 若数,满足 =48 和 =3, 则,各等于多少? 分析与解: (1) 因为 5812410,71125 11, 并且为整数,所以,只有=5 才满足原式。 (2) 拆分 180 为四个整数的乘积有很多种方法,如 1801459012330 但拆分成四个“大于1”的数字的乘积,范围就缩小了,如 18022592356 若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积,范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种: 1802356。 所以填的四个数字依次为2,3,5,6。 (3) 首先,由=3知,因此,在把48
7、 拆分为两数的乘积时,有 4848124216312486, 其中,只有 48124 中, 124=3,因此 =12,=4。 这道题还可以这样解: 由 =3 知, = 3。把 =48 中的换成 3,就有 ( 3) 48, 于是得到 =48316。因为 1644,所以 =4。再把 = 3 中的换成4,就有 = 3=43=12。 这是一种“代换”的思想,它在今后的数学学习中应用十分广泛。 下面,我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。 例 4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号,使下列各式成立: (1) 4 4 4 4 24; (2) 5 5 5 5 5=6。 解:(1) 因为 444424,所
8、以必须填一个“”。4416,剩下的两个4 只需凑成 8,因此,有如 下一些填法: 444424; 444424; 444424。 4 (2) 因为 5+1=6,等号左端有五个5,除一个 5 外,另外四个5 凑成 1,至少要有一个“”,有如下填法: 55+5-5+56; 5555-5 6; 55555=6; 555556。 由例 4 看出,填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算 得到的,如果只是盲目地“试算”,那么就可能走很多弯路。 例 5 在下式的两数中间添上四则运算符号,使等式成立: 8 2 3 3 3 。 分析与解: 首先考察右端“3 3 ”,它有四种
9、填法: 3+36; 3-3 0; 339; 3 3=1。 再考察左端“ 8 2 3”,因为只有一个奇数3,所以要想得到奇数,3 的前面只能填“”或“- ”,要 想得到偶数, 3 的前面只能填“”。经试算,只有两种符合题意的填法: 8-2 333;82-3 33。 填运算符号可加深对四则运算的理解和认识,也是培养分析能力的好内容。 练习 2 1. 在下列各式中,分别代表什么数? +1635; 47- =12; -3 15; 4 =36; 4=15; 84 =4。 2. 在下列各式中,各代表什么数? ( +350)3=200; (54- ) 40; 360- 710; 4 9- 5=1。 3. 在
10、下列各式中,各代表什么数? 150- - =; ; 92 =22。 4.120 是由哪四个不同的一位数字相乘得到的?试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的里: 120 。 5. 若数,同时满足 =36 和 - =5, 则,各等于多少? 6. 在两数中间添加运算符号,使下列等式成立: (1) 5 5 5 5 53; (2) 1 2 3 4 1。 7. 在下列各式的内填上合适的运算符号,使等式成立: 1244=103。 8. 在下列各式的内填上合适的运算符号,使等式成立: 123456789100; 123456789100; 123456789100; 123456789100; 123456
11、789100; 123456789100; 5 123456789100。 答案与提示 练习 2 1. 略。 2. = 250 ,=54, = 50 , =175。 3. =50, =0 或 2,= 2 。 4.1 358 或 1456 或 2345。 5. =9, =4。 6.(1)5-55-5 5= 3 ;(2)1 23-4=1。 7.12 44=10-3 或 1244=103。 8.123-45-67 89100; 123 45 67 8 9 100 ; 123456789100; 123456789100; 12345678 9 100; 123456789=100; 12-3-4 5
12、-6 789100。 第 3 讲 竖式数字谜 (一) 这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、减法数字谜问题的基本功,在于掌握好上一讲中介 绍的运算规则 (1)(2)及其推演的变形规则,另外还要掌握数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、 分析,找出解题的“突破口”。题目不同,分析的方法不同,其“突破口”也就不同。这需要通过不断的 “学”和“练”,逐步积累知识和经验,总结提高解题能力。 例 1 在右边的竖式中,A,B,C,D各代表什么数字? 解: 显然, C=5,D=1(因两个数 字之和只能进一位) 。 由于 A41 即 A5 的个位数为3,且必进一位 ( 因为 43) ,所以 A5=1
13、3,从而 A13-5=8 。 同理,由 7B1=12,即 B812,得到 B 12-8 4。 故所求的 A=8,B=4,C=5,D=1。 例 2 求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和: 分析与解: (1) 由于和的个位数字是9,两个加数的个位数字之和不大于9918,所以两个加数的个位上 的两个方框里的数字之和只能是9。( 这是“突破口” ) 再由两个加数的个位数之和未进位,因而两个加数的十位数字之和就是14。 故这两个加数的四个数字之和是914=23。 (2) 由于和的最高两位数是19,而任何两个一位数相加的和都不超过18,因此,两个加数的个位数相加后 必进一位。 ( 这是“突破口”,
14、与(1) 不同 ) 这样,两个加数的个位数字相加之和是15,十位数字相加之和是18。 所求的两个加数的四个数字之和是151833。 注意: (1)(2)两题虽然题型相同,但两题的“突破口”不同。(1) 是从和的个位着手分析,(2) 是从和 的最高两位着手分析。 例 3 在下面的竖式中,A,B,C,D,E各代表什么数? 分析与解: 解减法竖式数字谜,与解加法竖式数字谜的分析方法一样,所不同的是“减法”。 6 首先,从个位减起 (因已知差的个位是5) 。45,要使差的个位为5,必须退位, 于是, 由 14-D5 知, D=14-59。( 这是“突破口” ) 再考察十位数字相减:由B-1-0 9 知
15、,也要在百位上退位,于是有10B-1-0 9,从而 B0。 百位减法中,显然E=9。 千位减法中,由10A-1-3 7 知, A1。 万位减法中,由9-1-C 0 知, C8。 所以, A1,B0,C8,D9,E9。 例 4 在下面的竖式中,“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请把这个文字式写成符合题意的 数字式。 分析与解:例3 是从个位着手分析,而这里就只能从首位着手分析。 由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知,“炮”1。 被减数与减数的百位数相同,其相减又是退位相减,所以,“马”9。至此,我们已得到下式: 由上式知,个位上的运算也是退位减法,由11- “车” =9 得到“车”
16、 2。 因此,符合题意的数字式为: 例 5 在右边的竖式中,“巧,填,式,谜”分别代表不同的数字,它们各等于多少? 解: 由(4 谜 ) 的个位数是 0 知,“谜” 0 或 5。 当“谜” 0 时, (3 式 )的个位数是0,推知“式”0,与“谜”“式”矛盾。 当“谜” 5 时,个位向十位进2。 由(3 式 +2) 的个位数是0 知,“式” 6,且十位要向百位进2。 由(2 填 +2) 的个位数是0,且不能向千位进2 知,“填” 4。 最后推知,“巧”1。 所以“巧” 1,“填” 4,“式” =6,“谜” 5。 练习 3 1. 在下列各竖式的中填上适当的数字,使竖式成立: 2. 下列各竖式中,
17、里的数字被遮盖住了,求各竖式中被盖住的各数字的和: 3. 在下列各竖式的中填入合适的数字,使竖式成立: 4. 下式中不同的汉字代表19 中不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。这个竖式的和是多少? 5. 在下列各竖式的中填入合适的数字,使竖式成立: 答案与提示 练习 3 1. (1) 764 265=1029;(2) 981 959=1940;(3) 99 903 1002; (4) 98 97 923 1118。 2. (1) 28 ;(2) 75 。 3. (1) 23004-18501 4503;(2) 1056-989 67;(3) 24883-16789=8094 ;(4) 9123
18、-7684=1439 。 4.987654321 。 5. 提示:先解上层数谜,再解下层数谜。 7 第 4 讲 竖式数字谜 ( 二) 本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。 掌握好乘、除法的基本运算规则(第 2 讲的公式 (3)(4)及推演出的变形式子) 是解乘、除法竖式谜的基 础。根据题目结构形式,通过综合观察、分析,找出“突破口”是解题的关键。 例 1 在左下乘法竖式的中填入合适的数字,使竖式成立。 分析与解: 由于积的个位数是5,所以在乘数和被乘数的个位数中,一个是5,另一个是奇数。因为乘积大 于被乘数的 7 倍,所以乘数是大于7 的奇数,即只能是9( 这是问题的“突破口
19、”),被乘数的个位数是5。 因为 797089,所以,被乘数的百位数字只能是7。至此,求出被乘数是785,乘数是 9( 见右 上式 ) 。 例 2 在右边乘法竖式的里填入合适的数字,使竖式成立。 分析与解: 由于乘积的数字不全,特别是不知道乘积的个位数,我们只能从最高位入手分析。 乘积的最高两位数是2,被乘数的最高位是3,由 可以确定乘数的大致范围,乘数只可能是6,7,8,9。到底是哪一个呢?我们只能逐一进行试算: (1) 若乘数为 6,则积的个位填2,并向十位进4,此时,乘数6 与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位 数只能是 5( 因 4+5=9) 。这样一来,被乘数的十位上就无数可填了。这
20、说明乘数不能是6。 (2) 若乘数为 7,则积的个位填9,并向十位进4。与 (1) 分析相同,为使积的十位是9,被乘数的十位只能 填 5,从而积的百位填4。得到符合题意的填法如右式。 (3) 若乘数为 8,则积的个位填6,并向十位进5。为使积的十位是9,被乘数的十位只能填3 或 8。 当被乘数的十位填3 时,得到符合题意的填法如右式。当被乘数的十位填8 时,积的最高两位为3, 不合题意。 (4) 若乘数为 9,则积的个位填3,并向十位进6。为使积的十位是9,被乘数的十位只能填7。而此时,积 的最高两位是3,不合题意。 综上知,符合题意的填法有上面两种。 除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。
21、 例 3 在左下边除法竖式的中填入适当的数,使竖式成立。 8 分析与解: 由 488=6 即 86=48 知,商的百位填6,且被除数的千位、百位分别填4,8。又显然,被除 数的十位填 1。由 1=商的个位 8 知,两位数 1能被 8 除尽,只有168=2,推知被除数的个位填6,商的个位填2。填法如右上式。 例 3 是从最高位数入手分析而得出解的。 例 4 在右边除法竖式的中填入合适的数字。使竖式成立。 分析与解: 从已知的几个数入手分析。 首先,由于余数是5,推知除数 5,且被除数个位填5。 由于商 4 时是除尽了的,所以,被除数的十位应填2,且由于 34=12,84=32,推知,除数必为3
22、或 8。由于已经知道除数5,故除数 =8。( 这是关键! ) 从 84=32 知,被除数的百位应填3,且商的百位应填0。 从除数为 8,第一步除法又出现了4,88=64,83=24,这说明商的千位只能填8 或 3。试算知, 8 和 3 都可以。所以,此题有下面两种填法。 练习 4 1. 在下列各竖式的里填上合适的数: 2. 在右式中,“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时,乘法竖式成立? 3. “我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字,它 们各等于多少时,右边的乘法竖式成立? 9 4. 在下列各除法竖式的里填上合适的数,使竖式成立: 5. 在下式的里填上合适的数。 答
23、案与提示 练习 4 1. (1) 7865755055; (2) 2379 8= 19032或 7379 8= 59032 。 2. “我” 5,“爱” =1,“数” =7,“学” =2。 3. “我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表8,7,9,1,2。 4. (1) 56077=801;(2) 822 3=274。 5. 第 5 讲 找规律 (一) 这一讲我们先介绍什么是“数列”,然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。 按一定次序排列的一列数就叫数列。例如, (1) 1 ,2,3,4,5,6, (2) 1 ,2,4,8,16,32; (3) 1 ,0,0,1,0,0,1, (4) 1
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