小学奥数基础教程(五年级).pdf
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1、1 小学奥数基础教程(五年级) 第 1 讲数字迷(一) 第 2 讲 数字谜 ( 二) 第 3 讲 定义新运算 ( 一) 第 4 讲 定义新运算 ( 二) 第 5 讲 数的整除性 ( 一) 第 6 讲 数的整除性 ( 二) 第 7 讲 奇偶性(一) 第 8 讲 奇偶性(二) 第 9 讲 奇偶性(三) 第 10 讲 质数与合数 第 11 讲 分解质因数 第 12 讲 最大公约数与最小公倍数(一) 第 13 讲最大公约数与最小公倍数(二) 第 14 讲 余数问题 第 15 讲 孙子问题与逐步约束法 第 16 讲 巧算 24 第 17 讲 位置原则 第 18 讲 最大最小 第 19 讲 图形的分割与拼
2、接 第 20 讲 多边形的面积 第 21 讲 用等量代换求面积 第 22 用割补法求面积 第 23 讲 列方程解应用题 第 24 讲 行程问题(一) 第 25 讲 行程问题(二) 第 26 讲 行程问题(三) 第 27 讲 逻辑问题(一) 第 28 讲 逻辑问题(二) 第 29 讲 抽屉原理 ( 一) 第 30 讲 抽屉原理 ( 二) 第 1 讲 数字谜(一) 数字谜的内容在三年级和四年级都讲过,同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚 举等方法解题。数字谜涉及的知识多,思考性强,所以很能锻炼我们的思维。 这两讲除了复习巩固学过的知识外,还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题
3、。 例 1 把+,- ,四个运算符号,分别填入下面等式的内,使等式成立(每个运算符号只准使用 一次):( 5137)( 179)=12。 2 分析与解 :因为运算结果是整数,在四则运算中只有除法运算可能出现分数,所以应首先确定“” 的位置。 当“”在第一个内时,因为除数是13,要想得到整数,只有第二个括号内是13 的倍数,此时只 有下面一种填法,不合题意。 (513-7 )( 17+9)。 当“”在第二或第四个内时,运算结果不可能是整数。 当“”在第三个内时,可得下面的填法:(5+137)( 17-9 )=12。 例 2 将 19 这九个数字分别填入下式中的中,使等式成立:= =5568。 解
4、:将 5568 质因数分解为5568=2 6329。由此容易知道, 将 5568 分解为两个两位数的乘积有两种: 5896 和 6487,分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种: 12464, 16 348, 24 232, 29192, 32 174, 48 116。 显然,符合题意的只有下面一种填法:17432=5896=5568。 例 3 在 443 后面添上一个三位数,使得到的六位数能被573 整除。 分析与解 :先用 443000 除以 573,通过所得的余数,可以求出应添的三位数。由 443000573=773 71 推知, 443000+ (573-71)=443502 一定能
5、被 573 整除,所以应添502。 例 4 已知六位数33 44 是 89 的倍数,求这个六位数。 分析与解 :因为未知的数码在中间,所以我们采用两边做除法的方法求解。 先从右边做除法。由被除数的个位是4,推知商的个位是6;由左下式知,十位相减后的差是1,所以 商的十位是 9。这时,虽然8996=8544,但不能认为六位数中间的两个内是85,因为还没有考虑前面 两位数。 再从左边做除法。如右上式所示,a 可能是 6 或 7,所以 b 只可能是 7 或 8。 由左、右两边做除法的商,得到商是3796 或 3896。由 379689=337844, 3896 89=346744 知,商是 3796
6、,所求六位数是337844。 例 5 在左下方的加法竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,请你用适当 的数字代替字母,使加法竖式成立。 分析与解 :先看竖式的个位。由Y+N+N=Y 或 Y+ 10 ,推知 N 要么是 0,要么是 5。如果 N=5,那么要向 上进位,由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或 T+10,等号两边的奇偶性不同,所以N5,N=0。 此时,由竖式的十位加法T+E+E=T或 T+10, E 不是 0 就是 5,但是 N=0,所以 E=5。 竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同,说明百位、千位加法都要向上进位。因为 N=0,所以 I 0,推
7、知 I=1 ,O=9 ,说明百位加法向千位进2。 再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1,百位加法向千位进2,且 X0 或 1,所以 R+T+T+1 22,再由 R,T 都不等于 9 知,T 只能是 7 或 8。 若 T=7,则 R=8,X=3,这时只剩下数字2,4,6 没有用过,而S只比 F 大 1,S,F 不可能是 2,4,6 中的数,矛盾。 3 若 T=8,则 R只能取 6 或 7。R=6时, X=3,这时只剩下2,4,7,同上理由,出现矛盾;R=7时, X=4, 剩下数字 2,3,6,可取 F=2,S=3,Y=6。 所求竖式见上页右式。 解这类题目,往往要找准突破口,还要整体综合研
8、究,不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上 刊登的趣题,竖式中从上到下的四个词分别是 40 , 10 , 10 , 60 ,而 40+10+10 正好是 60,真是巧极了! 例 6 在左下方的减法算式中,每个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的 数字,使竖式成立。 分析与解 :按减法竖式分析,看来比较难。同学们都知道,加、减法互为逆运算,是否可以把减法变 成加法来研究呢(见右上式)?不妨试试看。 因为百位加法只能向千位进1,所以 E=9,A=1,B=0。 如果个位加法不向上进位,那么由十位加法1+F=10,得 F=9,与 E=9矛盾,所以个位加法向上进1, 由 1+
9、F+1=10,得到 F=8,这时 C=7。余下的数字有2,3,4,5,6,由个位加法知,G比 D大 2,所以 G ,D 分别可取 4,2 或 5,3 或 6,4。 所求竖式是 解这道题启发我们,如果做题时遇到麻烦,不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换, 将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外,做题时要考虑解的情况,是否有多个解。 练习 1 1. 在一个四位数的末尾添零后,把所得的数减去原有的四位数,差是621819,求原来的四位数。 2. 在下列竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替 字母,使竖式成立: 3. 在下面的算式中填上括号,使得计算结
10、果最大:123456789。 4. 在下面的算式中填上若干个(),使得等式成立:123456789=2.8 。 5. 将 19 分别填入下式的中,使等式成立:= =3634。 6. 六位数 391是 789 的倍数,求这个六位数。 7. 已知六位数7 888 是 83 的倍数,求这个六位数。 第 2 讲 数字谜(二) 这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。 例 1 在下面的算式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相 分析与解 :这道题可以从个位开始,比较等式两边的数,逐个确定各个 4 (100000+x) 3=10x+1, 300000+3x=10x+1, 7x=29999
11、9, x=42857。 这种代数方法干净利落,比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。 例 2 在内填入适当的数字,使左下方的乘法竖式成立。 求竖式。 例 3 左下方的除法竖式中只有一个8,请在内填入适当的数字,使除法竖式成立。 解: 竖式中除数与8 的积是三位数,而与商的百位和个位的积都是四位 数,所以 x=112,被除数为989112=110768。右上式为所求竖式。 代数解法虽然简洁,但只适用于一些特殊情况,大多数情况还要用传统的方法。 例 4 在内填入适当数字,使下页左上方的小数除法竖式成立。 分析与解 :先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式(见下页右上方竖式)。可以看出,除 数
12、与商的后三位数的乘积是1000=2 353的倍数,即除数和商的后三位数一个是 2 3=8的倍数,另一个是 53 =125 的奇数倍,因为除数是两位数,所以除数是8 的倍数。又由竖式特点知a=9,从而除数应是96 5 的两位数的约数,可能的取值有96,48,32,24 和 16。因为, c=5,5 与除数的乘积仍是两位数,所 以除数只能是16,进而推知b=6。因为商的后三位数是125 的奇数倍,只能是125,375,625和 875 之一, 经试验只能取375。至此, 已求出除数为16,商为 6.375 ,故被除数为6.375 16=102。右式即为所求竖式。 求解此类小数除法竖式题,应先将其化
13、为整数除法竖式,如果被除数的末尾出现n 个 0,则在除数和 商中,一个含有因子2 n(不含因子 5),另一个含有因子 5 n(不含因子 2),以此为突破口即可求解。 例 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式(1),这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖 式( 2),求这个五位数。 分析与解 :由竖式( 1)可以看出被除数为10*0 (见竖式( 1) ),竖式( 1)的除数为3 或 9。在竖 式( 2)中,被除数的前两位数10 不能被整数整除,故除数不是2 或 5,而被除数的后两位数*0 能被除数 整除,所以除数是4,6 或 8。 当竖式(1)的除数为 3 时,由竖式 (1) 知, a=1
14、 或 2,所以被除数为100*0 或 101*0,再由竖式 (2) 中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除,可得竖式(2)的除数为4,被除数为10020; 当竖式( 1)的除数为9 时,由能被 9 整除的数的特征,被除数的百位与十位数字之和应为8。因为竖 式(2)的除数只能是4,6,8,由竖式(2)知被除数的百位数为偶数,故被除数只有10080,10260,10440 和 10620 四种可能,最后由竖式(2)中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除,且十位数不能被 除数整除,可得竖式(2)的除数为8,被除数为10440。 所以这个五位数是10020 或 10440。 练习 2 1.
15、 下面各算式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的 6 2. 用代数方法求解下列竖式: 3. 在内填入适当的数字,使下列小数除法竖式成立: 第 3 讲 定义新运算(一) 我们已经学习过加、减、乘、除运算,这些运算,即四则运算是数学中最基本的运算,它们的意义、 符号及运算律已被同学们熟知。除此之外,还会有什么别的运算吗?这两讲我们就来研究这个问题。这些 新的运算及其符号,在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号,但学习讨论这些新运算,对于开拓思 路及今后的学习都大有益处。 例 1 对于任意数a,b,定义运算“ *”:a*b=ab-a-b 。 求 12*4 的值。 分析与解 :根据题目
16、定义的运算要求,直接代入后用四则运算即可。 12*4=124-12-4=48-12-4=32。 根据以上的规定,求106 的值。 3,x=2,求 x 的值。 分析与解 :按照定义的运算, =2, 7 x=6。 由上面三例看出,定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免 使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号,如+,- ,等,以防止发生混淆,而表示新运 算的运算意义部分,应使用通常的四则运算符号。如例1 中,a*b=ab-a-b ,新运算符号使用“* ”,而等 号右边新运算的意义则用四则运算来表示。 分析与解 :按新运算的定义,符号“”表示求两个数的平均数。 四则运
17、算中的意义相同,即先进行小括号中的运算,再进行小括号外面的运算。 按通常的规则从左至右进行运算。 分析与解 :从已知的三式来看,运算“”表示几个数相加,每个加数各数位上的数都是符号前面 的那个数,而符号后面的数是几,就表示几个数之和,其中第1 个数是 1 位数,第 2 个数是 2 位数,第 3 个数是 3 位数按此规定,得 35=3+33+333+3333+33333=37035。 8 从例 5 知,有时新运算的规定不是很明显,需要先找规律,然后才能进行运算。 例 6 对于任意自然数,定义:n!=12n。 例如 4 !=1234。那么 1!+2!+3!+100!的个位数字是几? 分析与解 :1
18、!=1, 2!=12=2, 3!=123=6, 4!=1234=24, 5!=12345=120, 6!=123456=720, 由此可推知,从5!开始,以后6!, 7!, 8!, 100!的末位数字都是0。 所以,要求 1! +2!+3!+100!的个位数字, 只要把 1!至 4!的个位数字相加便可求得:1+2+6+4=13。 所求的个位数字是3。 例 7 如果 m ,n 表示两个数,那么规定:m n=4n- (m+n ) 2。 求 3( 46) 12 的值。 解: 3( 46) 12 =34 6-(4+6) 2 12 =31912 =4 19- (3+19) 2 12 =6512 =412
19、- (65+12) 2 =9.5 。 练习 3 1. 对于任意的两个数a 和 b,规定 a*b=3 a-b 3。求 8*9 的值。 2. 已知 ab 表示 a 除以 3 的余数再乘以b,求 134 的值。 3. 已知 ab 表示( a-b )( a+b),试计算:(53)(106)。 4. 规定 ab 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和,求82 的值。 5. 假定 m n 表示 m的 3 倍减去 n 的 2 倍,即m n=3m-2n。 (2)已知 x(41)=7,求 x 的值。 9 7. 对于任意的两个数P, Q,规定 P Q= (PQ) 4。例如: 28=(28) 4。已知
20、 x( 85) =10,求 x 的值。 8. 定义: a b=ab-3b ,ab=4a-b/a 。计算:( 43)( 2b)。 9. 已知: 23=234, 45=45678, 求( 44)( 33)的值。 第 4 讲 定义新运算(二) 例 1 已知 ab=(a+b)-(a-b ),求 92 的值。 分析与解 :这是一道很简单的题,把a=9,b=2 代入新运算式,即可算出结果。但是,根据四则运算的 法则,我们可以先把新运算“”化简,再求结果。 ab=(a+b)- (a-b) =a+b-a+b=2b。 所以, 92=22=4。 由例 1 可知,如果定义的新运算是用四则混合运算表示,那么在符合四则
21、混合运算的性质、法则的前 提下,不妨先化简表示式。这样,可以既减少运算量,又提高运算的准确度。 例 2 定义运算: ab=3a+5ab+kb, 其中 a,b 为任意两个数, k 为常数。比如:27=32+527+7k。 (1)已知 52=73。问: 85 与 58 的值相等吗? (2)当 k 取什么值时,对于任何不同的数a,b,都有 ab=ba, 即新运算“”符合交换律? 分析与解 :( 1)首先应当确定新运算中的常数k。因为 52=35+552+k2 =65+2k , 所以由已知 5 2=73,得 65+2k=73,求得 k=(73-65 ) 2=4。定义的新运算是:ab=3a+5ab+4b
22、。 85=38+585+45=244, 58=35+558+48=247。 因为 244247,所以 8558。 (2)要使 ab=ba,由新运算的定义,有 3a+5ab+kb=3b+5ab+ka, 3a+kb-3b-ka=0 , 3(a-b)-k(a-b)=0, (3-k)(a-b)=0。 对于两个任意数a,b,要使上式成立,必有3-k=0 ,即 k=3。 当新运算是 ab=3a+5ab+3b 时,具有交换律,即ab=ba。 例 3 对两个自然数a 和 b,它们的最小公倍数与最大公约数的差,定义为ab,即 ab=a ,b- (a, b)。 比如, 10 和 14 的最小公倍数是70,最大公约
23、数是2,那么 1014=70-2=68。 (1)求 1221 的值; (2)已知 6x=27,求 x 的值。 分析与解 :( 1)1221=12 ,21- (12,21)=84-3=81; (2)因为定义的新运算“”没有四则运算表达式,所以不能直接把数代入表达式求x,只能用推理 的方法。 10 因为 6x=6 ,x- (6,x)=27,而 6 与 x 的最大公约数( 6,x)只能是 1,2,3,6。所以 6 与 x 的 最小公倍数 6 ,x 只能是 28, 29 , 30 , 33 。这四个数中只有 30 是 6 的倍数,所以 6 与 x 的最小公倍 数和最大公约数分别是30 和 3。因为 a
24、b=a ,b ( a,b), 所以 6x=303,由此求得x=15。 例 4 a 表示顺时针旋转90, b 表示顺时针旋转180, c 表示逆时针旋转90, d 表示不转。定义运 算“”表示“接着做”。求:ab;bc;ca。 分析与解 : a b 表示先顺时针转90,再顺时针转180,等于顺时针转270,也等于逆时针转 90,所以 ab=c。 bc 表示先顺时针转180,再逆时针转90,等于顺时针转90,所以 bc=a。 ca 表示先逆时针转90,再顺时针转90,等于没转动,所以ca=d。 对于 a,b,c,d 四种运动,可以做一个关于“”的运算表(见下表)。比如cb,由 c 所在的行 和 b
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