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1、一、填空题 1抛物线 yax 2 的准线方程是 x20,则 a 的值是 _ 解析: 抛物线方程可化为x21 ay, 准线方程为 x 1 4a2,得 a 1 8. 答案: 1 8 2 若抛物线 y 22px的焦点与椭圆x 2 6 y 2 2 1的右焦点重合,则 p的值为 _ 解析: 椭圆的右焦点是 (2,0), p 22,p4. 答案: 4 3若抛物线 y 22x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3,则 M 到该抛物线焦 点的距离为 _ 解析:设点 M 的坐标为 t 2 2,t ,则 t 2 2 2t2 3,即 t 44t2120,解得 t2 2 或 t 26(舍),故 M(1, 2)又
2、抛物线的准线方程为 x 1 2,故点 M 到 准线距离为 3 2,即 M 到其焦点距离为 3 2. 答案: 3 2 4若抛物线 y 22px(p0),过其焦点 F 倾斜角为 60 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,且 |AB|4.则此抛物线的方程为 _ 解析: 抛物线的焦点为 F(p 2,0),得直线 l 的方程为: y3(xp 2),将其与 y 22px(p0)联立消去 y得: 3x 25xp3 4p 20,x 1x2 5 3p, 又|AB|x1x2p. 有 5p 3 p4,解得: p3 2. 抛物线方程为: y 23x. 答案: y23x 5如果直线 l 过定点 M(1,2),且与抛物
3、线 y2x 2 有且仅有一个公共点,那么直 线 l 的方程为 _ 解析: 点 M 在抛物线上,由题意知直线l 与抛物线相切于点M(1,2),y|x1 4,直线 l 的方程为 y24(x1),即 4xy20.当 l 与抛物线相交时, l 的方程为 x1. 答案: 4xy20,x1 6 已知过抛物线 y 26x 焦点的弦长为 12, 则此弦所在直线的倾斜角是 _ 解析: 抛物线焦点是 (3 2,0), 设直线方程为 yk(x3 2), 代入抛物线方程,得k 2x2(3k26)x9 4k 20, 设弦两端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x2 3k 26 k 2 , |AB|x1x2
4、p 3k 26 k 2 312,解得 k 1, 直线的倾斜角为 4或 3 4 . 答案: 4或 3 4 7过抛物线 x 24y 的焦点 F 作直线 l,交抛物线于 A(x 1,y1),B(x2,y2)两点, 若 y1y26,则|AB|等于_ 解析: 结合抛物线的定义可知 |AB|(y1 p 2)(y2 p 2)y1y2p628. 答案: 8 8 已知圆 x 2y26x70 与抛物线 y22px(p0)的准线相切,则 p_. 解析: 由题知,圆的标准方程为(x3)2y242, 圆心坐标为 (3,0),半径 r4. 与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x1,x7. 而 y22px(p0)的准线方程是
5、 x p 2, 由 p 21得 p2,由 p 27 得 p14与题设矛盾 (舍去)p2. 答案: 2 9连结抛物线 x 24y 的焦点 F 与点 M (1,0)所得的线段与抛物线交于点 A,设点 O 为坐标原点,则 OAM 的面积为 _ 解析:线段 FM 所在直线方程 xy1 与抛物线交于 A(x0,y0),则 xy1 x 24y ? y0 32 2或 y032 2(舍去) SOAM1 21(32 2)3 2 2. 答案: 3 2 2 二、解答题 10根据下列条件求抛物线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线16x 29y2144 的左顶点; (2)过点 P(2,4); (3)抛物线的焦点在
6、x 轴上,直线 y3 与抛物线交于点A,|AF|5. 解析: (1)双曲线方程化为 x 2 9 y 2 161,左顶点为 (3,0),由题意设抛物线方程为 y 22px(p0)且p 2 3, p6, 方程为 y212x. (2)由于 P(2,4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴,可设方程为y 2mx 或 x2ny. 代入 P 点坐标求得 m8,n1, 所求抛物线方程为y28x 或 x2y. (3)设所求焦点在 x 轴上的抛物线方程为 y 22px(p0),A(m,3), 由抛物线定义得 5|AF|m p 2|. 又(3) 22pm, p 1 或 p 9, 故所求抛物线方程为y 2 2x 或
7、y2 18x. 11在平面直角坐标系xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,焦点F 的坐标为 (1,0) (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)设 M,N 是抛物线 C 的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为4,直线 MO、NO 与抛物线的交点分别为点A、B,求证:动直线 AB 恒过一个定点 解析: (1)设抛物线的标准方程为y22px(p0),则 p 21,所以 p2, 所以抛物线 C 的标准方程为 y24x. (2)证明:证法一抛物线 C 的准线方程为 x1, 设 M(1,y1),N(1,y2),其中 y1y24. 则直线 MO 的方程为: yy1x, 将 yy1x 与 y 24x 联立
8、方程组, 解得 A 点坐标为 ( 4 y 2 1 , 4 y1), 同理可得 B 点坐标为 ( 4 y 2 2, 4 y2), 则直线 AB方程为: y 4 y1 4 y2 4 y1 x 4 y 2 1 4 y 2 2 4 y 2 1 , 整理得 (y1y2)y4x40, 由 y0, 4x40, 解得 x1, y0, 故动直线 AB 恒过一个定点 (1,0) 证法二抛物线 C 的准线方程为 x1,设 M(1,y1),N(1,y2),其中 y1y2 4. 取 y12,则 y22,可得 M(1,2),N(1,2) 此时直线 MO 的方程为 y2x,由 y 24x, y2x, 解得 A(1,2) 同
9、理,可得 B(1,2),则直线 AB 的方程为 l1:x1, 再取 y11,则 y24,同理可得 A(4,4),B(1 4,1), 此时直线 AB 方程为 l2:4x3y40,于是可得 l1与 l2的交点为 (1,0)故动直 线 AB 恒过一个定点 (1,0) 12已知过抛物线 y 22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A(x 1,y1),B(x2,y2) 两点 求证: (1)x1x2为定值; (2) 1 |FA| 1 |FB|为定值 证明: (1)抛物线 y 22px 的焦点为 F(p 2,0), 设直线 AB的方程为 yk(xp 2)(k0) 由 yk xp 2 , y 22px, 消去 y,得 k 2x2p(k22)xk 2p2 4 0. 由根与系数的关系得x1x2 p 2 4 (定值) 当 ABx 轴时, x1x2p 2,x1x2 p 2 4 也成立 (2)由抛物线的定义知, |FA|x1p 2,|FB|x2 p 2. 1 |FA| 1 |FB| 1 x1p 2 1 x2 p 2 x1x2p p 2 x1x2x1x2p 2 4 x1x2p p 2 x1x2 p 2 2 x1x2p p 2 x1x2p 2 p (定值) 当 ABx 轴时, |FA|FB|p,上式也成立
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