抛物线-高考理科数学试题.pdf
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1、(四十五)抛 物 线 小题对点练 点点落实 对点练 (一 )抛物线的定义及其应用 1已知 AB 是抛物线y 28x 的一条焦点弦, |AB|16,则 AB 中点 C 的横坐标是 ( ) A 3 B4 C 6 D8 解析: 选 C设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|x1x2p16,又 p4,所以 x1x2 12,所以点 C 的横坐标是 x1x2 2 6. 2设抛物线y 2 12x 上一点 P 到 y 轴的距离是 1,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 () A 3 B4 C 7 D13 解析: 选 B依题意,点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x3 的距离, 即等于 31
2、4. 3 若抛物线y 22x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离, 则点 P的坐标为 () A. 1 4, 2 2 B. 1 4, 1 C. 1 2, 2 2 D. 1 2 , 1 解析: 选 A设抛物线的顶点为O,焦点为F,P(xP,yP),由抛物线的定义知,点 P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离,所以|PO|PF|,过点 P 作 PMOF 于点 M(图略 ), 则 M 为 OF 的中点,所以xP 1 4,代入 y 2 2x,得 yP 2 2 ,所以 P 1 4, 2 2 . 4已知抛物线y 22px 的焦点 F 与双曲线 x 2 7 y 2 9 1 的右焦点重合,抛物线的准线与
3、x 轴的交点为K,点 A 在抛物线上,且|AK|2|AF|,则 AFK 的面积为 () A 4 B8 C 16 D32 解析: 选 D由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)过点 A 作直线 AA垂直于抛物线的 准线,垂足为A,根据抛物线定义知,|AA|AF |,在 AAK 中, |AK|2|AA|, 故KAA45,所以直线AK 的倾斜角为45,直线 AK 的方程为yx4,代入抛物 线方程 y 216x 得 y216(y4),即 y2 16y640,解得 y8, x4.所以 AFK 为直角 三角形,故 AFK 的面积为 1 288 32. 5已知 P 为抛物线y 24x 上一个动点, Q 为圆 x
4、2(y4)21 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是() A 2 51 B2 52 C.171 D.172 解析: 选 C由抛物线定义可知,点P 到准线的距离可转化为其到焦点F 的距离,即 求|PQ| |PF|的最小值设圆的圆心为点C,因为 |PQ| |PC| 1,所以 |PQ|PF |PC|1 |PF| |FC|117 1,故选 C. 6抛物线y 22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为1,则 p_. 解析: 抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点,最小距离为 p 2,则 p 2 1,解得 p 2. 答案: 2 7 (2018 河南三
5、门峡模拟)过抛物线y 24x 的焦点 F 且倾斜角为 4的直线交抛物线于 A, B 两点, |FB |FA| _. 解析: 抛物线 y 24x 的焦点 F(1,0),准线为 x 1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 yx1, y 24x, 可得 x 26x 10,解得 x 1322, x2 322, 由抛物线的定义可得|FA|x1142 2, |FB |x2142 2, 则 |FB |FA|42. 答案: 4 2 对点练 (二 )抛物线的标准方程及性质 1抛物线y 22px(p0)的准线截圆 x2 y 2 2y1 0 所得弦长为 2,则 p() A 1 B2 C 4 D6 解析:
6、 选 B抛物线 y 22px(p0)的准线为 x p 2,而圆化成标准方程为 x 2(y1)2 2,圆心M(0,1),半径r2,圆心到准线的距离为 p 2,所以 p 2 22 2 2 ( 2) 2,解得 p 2. 2设 O 是坐标原点,F 是抛物线y 24x 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA与 x 轴正方向的夹角为60,则 OAF 的面积为 () A. 3 2 B2 C.3 D1 解析: 选 C过点 A 作 ADx 轴于点 D,令 |FD |m,则 |FA|2m,2m2m,m 2, 所以 |AD|2 3,所以 SOAF1 212 3 3. 3直线 l 过抛物线 C:y 22px(p0)的
7、焦点 F,且与 C 相交于 A, B 两点,且 AB 的中 点 M 的坐标为 (3,2),则抛物线C 的方程为 () A y 2 2x 或 y2 4x By 24x 或 y28x C y 2 6x 或 y2 8x Dy 22x或 y28x 解析: 选 B由题可得直线l 的方程为yk x p 2 ,与抛物线方程C:y 22px(p0)联 立,得 k 2 x 2k2 px2pxk 2p2 4 0. AB 的中点为M(3,2) , p 2 p k 23, 2k 3 p 2 , 解得 k1 或 k 2,p2 或 p4,抛物线 C 的方程为y 24x 或 y2 8x. 4已知抛物线关于x 轴对称,它的顶
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