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1、求函数值域的几种方法 【摘要】 函数是中学数学中最重要概念之一,是中学数学的重点内容,也是难点所在。诸 多实际应用的最值问题与求函数值域密切相关,而由于常见函数的分类有几种,形式多样, 如何正确选择求值域的方法一直都是中学数学关注的问题。函数值域的求解没有通性通法, 只能根据函数表达式的特征采用不同的方法,文章在此介绍目前求函数值域的几种常见方法 以及几种常见错误。 【关键词】函数 定义域 值域 方法 定义域、值域和对应法则是函数现代定义的三要素,在这三要素中对应关系和值域起决 定作用,而值域则是由定义域和对应法则共同确定的。当我们研究函数的值域的时候,既要 重视对应法则的作用,也要特别重视定
2、义域对值域的制约作用。如何确定函数的值域,这是 大多数学生都会感到头疼的问题,因为它所涉及到的知识面比较广,方法也是灵活多样。 一、值域的概念及基本函数的值域 1. 值域的概念 函数中,因变量的取值范围叫做这个函数的值域,也就是函数在定义域中因变量所有值 的集合。 2. 基本函数的值域 (1) 一次函数0abkxy的定义域为 R, 值域为 R; (2) 二次函数0 2 acbxaxy的定义域为 R,当0a时 a bac 4 4 , 2 ;当0a时; 值域为, 4 4 2 a bac ; (3) 反比例函数 0k x k y的定义域为0xx,值域为0yy; (4) 指数函数10aaay x 且的
3、定义域为 R,值域为0yy; (5) 对数函数10logaaxy a 且的定义域为0xx,值域为 R; (6) 正、 余弦函数的定义域为R, 值域为1 ,1; 正切函数的定义域为Zkkxx, 2 , 值域为 R;余切函数的定义域为Zkkxx, 值域为 R。 二、确定函数值域的几种常见的方法 1. 直接观察法 通过对函数的定义域、 对应法则的观察, 再结合函数的解析式, 可以直接推出)(xfy的 取值范围。 例 1:求函数253xy的值域 解:有算术平方根的性质可知, 053x , 故有 2253x , 函数253xy的值域为,2. 例 2:求函数 2 1 x y的值域 解:02x,即当2x时,
4、 0 2 1 x , 函数 2 1 x y的值域为,00. 小结:算术平方根具有双重非负性: (1)被开方数的非负性,(2)值的非负性;分式函 数确保分母不为零。直接观察法对于一类函数值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 2. 配方法 如果一个函数是二次函数又或者经过换元可以写成形如cxbfxafxF)()()( 2 的函数, 那么将这个函数的右边配方,通过自变量的范围可以求出该函数的值域。 例 3:求函数106 2 xxy,4 ,2x的值域 解:将函数的右边进行配方可得13 2 xy, 4,2x,50132 2 x, 即当4,2x时,502y. 故函数106 2 xxy的值域为50,2.
5、例 4:求函数1sin4cos 2 xxy的值域 解:变形函数得2sin4sin 2 xxy, 整理可得62sin 2 xy, 1sin1x,53y, 故原函数1sin4cos 2 xxy的值域为5 ,3. 小结:求函数值域不仅得重视对应关系的应用,还要特别注意定义域对值域的制约作用, 配方法是数学解题的一种重要方法。 3. 换元法 通过简单的代数换元法或是三角函数换元法,把无理数函数、指数函数、对数函数等超 越函数化为简单的代数函数来求函数的值域。 例 5:已知函数值域)(xf的值域为 2 3 4,试求)(21)(xfxfy的值域 解: 2 3 4)(,xf, 2 3 )(4xf, 有3)(
6、212xf. 令)(21xft,则3 ,2t, 故有 2 1 2 1 )(txf,tttgy 2 1 2 1 )(, 即11 2 1 )( 2 ttgy. 3,2t, 2 1 1y, 即函数)(21)(xfxfy的值域为 2 1 1,. 小结:将无理数函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为二次函数,通过求出二次 函数的最值,从而来确定原函数的值域。此种方法体现的是换元、化归的思想方法,其应用 相当广泛。 4. 最值法 若函数)(xfy是在闭区间ba,上的连续函数,则可以求出函数)(xfy在ba,内的极 值,并且与边界值)()(bfaf、作比较从而得到函数的最大值、最小值,最终确定函数的值域。
7、 例 6:若x 为实数,试求函数53 2 xxy的值域 解:x为实数,0x,即,0x. 又 4 29 2 3 53 2 2 xxxy且在其定义域上是增函数, 当0x时有5 min y, 因此函数53 2 xxy的值域为,5. 例 7:求函数 2 28xxy的值域 解:由028 2 xx得函数的定义域为24xx, 二次函数的对称轴方程为1x, 当1x时(2,4x) ,3 max y;当24xx或,0 min y, 函数 2 28xxy的值域为3 ,0. 小结:此种方法是将函数的值域问题转化为函数的最值。另外,对于开区间,若是存在 最值,也可通过这种方法求的值域。 5.判别式法 把函数)(xfy同
8、解转化为关于 x的二次方程0),(yxF,再利用0确定y的范围,即 得原函数的值域。此种方法适用于函数式中含有分式和根式。 例 8:求函数 65 6 2 2 xx xx y的值域 解:由函数式可得函数定义域为32xxx或, 由 65 6 2 2 xx xx y变形得,016151 2 yxyxy. 当1y时,此方程无解; 当1y时,112415 2 yyy, 整理得,05 2 y, 检验5y时,有024246 2 xx,即02 2 x. 322xxx或,5y, 故函数 65 6 2 2 xx xx y的值域为15yyy且. 例 9:求函数xxxy2的值域 解:由函数式可得函数定义域为2,0,
9、将 x移至左边后两边平方得xxxy2 2 , 整理得0122 22 yxyx,则有 2 2 814yy. 要使方程有解则需0,即0814 22 yy, 整理得2121y, 又2,0x,02xxxy, 故原函数的值域为210yy. 小结:把函数关系化为二次方程0,yxF, 由于方程有实数解, 因此判别式为非负数, 故可求得函数的值域,该方法常适用于形如 22 2 2 11 2 1 cxbxa cxbxa y( 1 a 、 2 a 不同时为零)及 edxcxbaxy 2 的函数,解题中还要特别注意二次项系数是否为零的讨论。 6. 反函数法 假如函数)(xfy在其定义域内存在反函数,则可以利用函数值
10、域和反函数的定义域之 间的关系,把求函数)(xfy的值域转化为求反函数的定义域。 例 10:求函数 23 34 x x y的值域 解:由原函数式可得 43 32 y y x, 则其反函数为 43 32 x x y,且其定义域为 4 3 xx, 故原函数 23 34 x x y的值域为, 4 3 4 3 ,. 小结:利用此种方法求值域的前提条件是原函数存在反函数,该方法体现的是逆向思维, 是数学解题的重要方法之一。 7. 函数有界性法 若函数)(xfy是由一些有界的初等函数复合而成的,则可以用y来表示这个初等函数, 再利用初等函数的有界性得到一个关于y的不等式,解不等式即能求出)(xfy的值域。
11、 例 11:求函数 12 5 1 x y的值域 解:由原函数式可得1 1 5 2 y x , 02 x 且01y, 有01 1 5 y 且1y,即4y且1y, 函数 12 5 1 x y的值域为, 11 ,4. 例 12:求函数 1 2 1 1 2 1 x x y的值域 解:由原函数可得 y y x 1 1 2 1 , 0 2 1 x ,0 1 1 y y ,即11y, 原函数 1 2 1 1 2 1 x x y的值域为1 , 1. 小结:直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性来确定原函数的值域。 8. 不等式法 利用基本不等式abba2 22 与abba20ba、是求函数值域的常
12、用技巧之一; 有 时也需要求出原函数的反函数,再根据自变量的取值范围构造不等式来求解函数值域。 例 13:求函数 x x y 1 的值域 解: x x x x y 11 2, 当且仅当1x时,等号成立, 函数 x x y 1 的值域为,2. 小结:利用基本不等式abba2求函数值域时应满足三个缺一不可条件(1) 0,0 ba; (2)abba或为定值;(3)取等号成立的条件是ba。不等式是重要的解题 工具,它的应用十分广泛,是数学解题的方法之一。 9. 数形结合法 假若所给函数有较明显的几何意义,则可借助几何法,通过函数图象,把求函数值域的 问题化为求直线的斜率、距离的范围或直线在坐标轴上的截
13、距等问题。 例 14:求函数 22 13xxy的值域 解:如图 1 所示 原函数可化简为13xxy, 上式可以看作是数轴上点xC到定点1A、3B之间的距离之和 . 由上图可知,当C点在线段 AB上时, 13xxy4AB; 当C点在线段 AB的延长线或是反向延长线时, 413ABxxy. 故函数 22 13xxy的值域为,4. 例 15:求函数 1 1 1 2 x x x y的值域 解:令 1 2 x u10u, 1 1 x x v10v,则1 22 vu表示的是一段圆弧, 而vuy表示直线yuv在v轴上的截距, 如图 2 所示, 当直线过10,时,截距1 min y; 当直线为圆弧的切线时,截
14、距 max y2 . 从而函数 1 1 1 2 x x x y的值域是21yy. 例 16:求函数 x x y sin 2cos 的值域 解:将 x x y sin 2cos 变为 x x y sin0 cos2 , 此式可看作是定点P2,0于动点 Qxxcos,sin连线的斜率 . 而动点 Q的轨迹参数方程为 xv xu cos sin ,即1 22 uv, 其图形是一单位圆,如图3 所示, 当过点20,P的直线与单位圆相切时斜率达到最大或最小, 过点20,P,可设直线为2kxy. 将原点0 ,0O代入上式得1 1 2 2 k ,即3 2 k, 解得3k,故函数 x x y sin 2cos
15、 的值域为33yy. 小结:例 15、例 16 的解题关键是作一个恰当的变换,如bvauy(ba、为不为 0 的 常数)或 au bv y(ba、为常数) 。数学是研究数与形的关系的一门学科,因此数形结合在 数学学习中经常用到。 10.分离常数法 分子、分母是一次函数的有理数函数,则可利用分离常数法,此类问题一般也可以用反 函数法来求解。 例 17:求函数 x x e e y 3 2 的值域 解: xx x x x ee e e e y 3 6 2 3 632 3 2 , 又0 3 6 x e ,2y, 故函数 x x e e y 3 2 的值域为,22,. 小结:求形如 dcx bax y(
16、dcba、是常数,且0ac)这一类型函数的值域,可直接 运用此方法,解题关键是通过拼凑将分子进行常数分离。 11.复合函数法 对于复合函数ufy,xvu,可先求出xvu的值域充当ufy的定义域,继而 确定ufy的值域。 例 18:求函数 x x e e y 3 的值域 解:设 x et3 3t,则原函数可变形为, tee e y xx x 3 1 3 3 1 3 33 3t. 3t,1 3 t ,则有0y, 函数 x x e e y 3 的值域为,0. 例 19:求函数242log 2 2 1 xxy的值域 解:函数可看作是由函数uy 2 1 log与242 2 xxu复合而成, 412242
17、 2 2 xxxu,即4u, 又当4u时,2log 2 1 uy, 函数242log 2 2 1 xxy的值域为,2. 三、求函数值域中常见的几种错误 1. 忽略中间变量的取值范围 例 20:已知函数xfy满足 11 1 1 2 2 x xf,试求函数的值域 错解:令tx 2 1,则有 1 1 t tf, 1t,0 1 1 t , 故原函数的值域为0yy. 剖析:在求函数解析式中忽视了中间变量t的取值范围。 事实上,在换元时令tx 2 1,由110 2 x,且01t, 函数 1 1 t tf的定义域为1 ,0,则其值域为1,, 故原函数的值域为1,. 2. 盲目使用判别式 例 21:求函数 x
18、x xx y 3 6 2 2 的值域 错解:03 2 xx,函数的定义域为,00 , 33,:I. 将原函数变形得06131 2 xyxy, 若1y,则有Ix3, 故1y,即上式方程有实数根, 05312413 22 yyy, 故原函数的值域为, 11 ,. 剖析:在变形的过程中,x的范围被扩大了,这样求出的y的范围就可能也被扩大了。 事实上,当 3 5 y时,Ix3, 3 5 y. 为避免上述解法的失误,本题可采用以下解法, xxx xx xx xx y 2 1 3 32 3 6 2 2 , 故所求函数的值域为 3 5 1yyy且. 3. 误用反函数法(不同解变形) 例 22:求函数1log
19、 2 3 xxy的值域 错解:将原函数变形得13 2 xx y ,即13 2 xx y , 将上式左右平方的13 2 2 xx y ,整理得 2 33 yy x, 故原函数的反函数为 2 33 xx y, 由Rx,则所求原函数的值域为,. 剖析:从 13 2 xx y 变形到 2 33 yy x的过程并不是等价变形的, 其中y的范围扩大 了,故所求函数的自变量的取值不是原函数的值域。 事实上,1log 2 3 xxy的定义域为,1,而1 2 xx在,1上单调递 增,11 2 xx,故01log 2 3 xxy,因此所求值域为, 0. 4. 使用最值法考虑不周 例 23:求函数 2 4 2 x
20、x y的值域 错解:xx44 2 ,且有44 2 x, 2 1 4 2 2 x x ,即 2 1 y, 故所求函数值域为 2 1 ,. 剖析:当2y代入原函数中得 2 4 2 2 x x ,整理得0822 2 xx, 0608244,上式方程无解 . 可见,上面的解答是错误的 . 错误的原因在于只求得了函数的最大值,却没有考虑 函数是否存在最小值。 事实上,将函数变形为042 2 yxyx,Rx,0164 2 y, 解得 2 1 2 1 y,故所求原函数的值域为 2 1 , 2 1 . 5. 使用配方法求解不当 例 24:求函数5 1 x xy0x的值域 错解:3 1 5 1 2 x x x
21、xy, 又0 1 2 x x,3y, 故所求函数值域为,3. 剖析:当,36y时,有5 1 6 x x,整理得01 2 xx, 0341,上式方程无解 . 可见,在函数定义域内,无论x取何值,函数值都不可能等于6,因此上面的解 答是错误的,错误的原因在于0 1 2 x x在0x内无解。 事实上,7 1 5 1 2 x x x xy,0 1 2 x x, 且当0 1 2 x x时 有解,7y,即所求函数值域为,7. 四、结语 函数是中学数学中的重要基本概念之一,求函数值域又是函数的一个重点,它与三角函 数、方程、导数、代数式、不等式等知识有着密切联系,而且应用广泛。上述诸多方法是初 等函数中求值
22、域比较常见的方法,所举的例子也是学生经常遇到的,从中可以比较系统全面 学习这板块的知识。不同的特征的题目其解决方法也不同,这些方法若使用得当,就可使问 题迅速解决;若使用不当,往往就会导致谬误。因此遇到求函数值域的问题应首先考虑有哪 几种基本方法可以求解,关键在于平时的积累,题目做多了,遇到某种题型我们自然可以在 多种方法中选出最优方法去解决。 参考文献 1 郝长江, “求函数值域的几种常用方法” , 数学天地,青海教育, 2011 年第 1-2 期, 60 页。 2 徐盛怀, “求函数值域的十二法” , 数学学习与研究,2010 年第 15 期,73 至 74 页。 3 祥凤, “求函数值域
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