【名校资料】北师大版高三数学(理)总复习:第四章 4.6.DOC
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1、+二一九高考数学学习资料+4.6正弦定理、余弦定理及解三角形1 正弦、余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos_A;b2c2a22cacos_B;c2a2b22abcos_C变形(1)a2Rsin A,b2Rsin_B,c2Rsin_C;(2)sin A,sin B,sin C;(3)abcsin_Asin_Bsin_C;(4)asin Bbsin A,bsin Ccsin B,asin Ccsin Acos A;cos B;cos C2 SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)
2、r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R、r.3 在ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解4 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30,北偏西45等(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图)(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在ABC中,AB必
3、有sin Asin B()(2)若满足条件C60,AB,BCa的ABC有两个,那么a的取值范围是(,2)()(3)若ABC中,acos Bbcos A,则ABC是等腰三角形()(4)在ABC中,tan Aa2,tan Bb2,那么ABC是等腰三角形()(5)从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为180.()2 (2013湖南)在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin Bb,则角A等于()A. B. C. D.答案D解析在ABC中,利用正弦定理得2sin Asin Bsin B,sin A.又A为锐角,A.3 (2013陕西)设ABC的内角A,B,C所对的边
4、分别为a,b,c,若bcos Cccos Basin A,则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案B解析由bcos Cccos Basin A,得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A,即sin(BC)sin2A,所以sin A1,由0A,得A,所以ABC为直角三角形4 在ABC中,B60,AC,则AB2BC的最大值为_答案2解析由正弦定理知,AB2sin C,BC2sin A.又AC120,AB2BC2sin C4sin(120C)2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin
5、Ccos C)2sin(C),其中tan ,是第一象限角,由于0C120,且是第一象限角,因此AB2BC有最大值2.5 一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶4 h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为_ km.答案30解析如图所示,依题意有AB15460,MAB30,AMB45,在AMB中,由正弦定理得,解得BM30 (km)题型一正、余弦定理的简单应用例1(1)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2b2bc,sin C2sin B,则A等于()A30 B60 C120 D150(2)在ABC中,a,b,
6、c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C,则sin Bsin C的最大值为()A0 B1 C. D.思维启迪(1)由sin C2sin B利用正弦定理得b、c的关系,再利用余弦定理求A.(2)要求sin Bsin C的最大值,显然要将角B,C统一成一个角,故需先求角A,而题目给出了边角之间的关系,可对其进行化边处理,然后结合余弦定理求角A.答案(1)A(2)B解析(1)sin C2sin B,由正弦定理得c2b,cos A,又A为三角形的内角,A30.(2)已知2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C,根据正弦定理,得2a2(2bc)
7、b(2cb)c,即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A,故cos A,又A为三角形的内角,A120.故sin Bsin Csin Bsin(60B)cos Bsin Bsin(60B),故当B30时,sin Bsin C取得最大值1.思维升华(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制
8、(1)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b5c,C2B,则cos C等于()A. BC D.(2)已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a1,b,AC2B,则角A的大小为_答案(1)A(2)解析(1)由正弦定理,将8b5c及C2B代入得,化简得,则cos B,所以cos Ccos 2B2cos2B12()21,故选A.(2)AC2B且ABC,B.由正弦定理知:sin A,又ab,AB,A.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用例2(2012课标全国)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,acos Casin Cbc0.(1)求A;(2)若a
9、2,ABC的面积为,求b,c.思维启迪利用正弦定理将边转化为角,再利用和差公式可求出A;面积公式和余弦定理相结合,可求出b,c.解(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC,所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0,所以sin.又0A,故A.(2)ABC的面积Sbcsin A,故bc4.而a2b2c22bccos A,故b2c28.解得bc2.思维升华有关三角形面积问题的求解方法:(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化(2)合理运用三角函数公式,如同角三角函数的基本关系、二倍角公
10、式等在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.(1)若c2,C,且ABC的面积为,求a,b的值;(2)若sin Csin(BA)sin 2A,试判断ABC的形状解(1)c2,C,由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面积为,absin C,ab4.联立方程组解得a2,b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A,得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A,即2sin Bcos A2sin Acos A,cos A(sin Asin B)0,cos A0或sin Asin B0,当cos A0时,0A,A,ABC为直角三角形;当sin As
11、in B0时,得sin Bsin A,由正弦定理得ab,即ABC为等腰三角形ABC为等腰三角形或直角三角形题型三解三角形的实际应用例3某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45,距离为10 n mile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间思维启迪本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间t,找出等量关系,然后解三角形解如图所示,根据题意可知AC10,ACB120,设舰艇靠近渔轮所
12、需的时间为t h,并在B处与渔轮相遇,则AB21t,BC9t,在ABC中,根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120,所以212t210292t22109t,即360t290t1000,解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h此时AB14,BC6.在ABC中,根据正弦定理得,所以sinCAB,即CAB21.8或CAB158.2(舍去)即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行,需 h才能靠近渔轮思维升华求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,三角形可解,则至少要知道这个三角形的一条边长解题中注意各个角的含义,根据这些角把需要的
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