全国各地中考数学分类解析总汇:图形的相似与位似【共107页】.doc
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1、 图形的相似与位似一、选择题1. ( 2014安徽省,第9题4分)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按ABC的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是()A B C D考点:动点问题的函数图象分析:点P在AB上时,点D到AP的距离为AD的长度,点P在BC上时,根据同角的余角相等求出APB=PAD,再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式,从而得解解答:解:点P在AB上时,0x3,点D到AP的距离为AD的长度,是定值4;点P在BC上时,3x5,APB+BAP=90,PAD+BAP=90,APB=PAD,又B=DE
2、A=90,ABPDEA,=,即=,y=,纵观各选项,只有B选项图形符合故选B点评:本题考查了动点问题函数图象,主要利用了相似三角形的判定与性质,难点在于根据点P的位置分两种情况讨论2. (2014广西玉林市、防城港市,第7题3分)ABC与ABC是位似图形,且ABC与ABC的位似比是1:2,已知ABC的面积是3,则ABC的面积是()A3 B6 C9 D12考点:位似变换分析:利用位似图形的面积比等于位似比的平方,进而得出答案解答:解:ABC与ABC是位似图形,且ABC与ABC的位似比是1:2,ABC的面积是3,ABC与ABC的面积比为:1:4,则ABC的面积是:12故选:D点评:此题主要考查了位
3、似图形的性质,利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键3(2014年天津市,第8题3分)如图,在ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF:FC等于()A3:2B3:1C1:1D1:2考点:平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质分析:根据题意得出DEFBCF,进而得出=,利用点E是边AD的中点得出答案即可解答:解:ABCD,故ADBC,DEFBCF,=,点E是边AD的中点,AE=DE=AD,=故选:D点评:此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识,得出DEFBCF是解题关键4.(2014毕节地区,第12题3分)如图,ABC中,AE交BC于点
4、D,C=E,AD:DE=3:5,AE=8,BD=4,则DC的长等于( )A B C D考点:相似三角形的判定与性质分析:根据已知条件得出ADCBDE,然后依据对应边成比例即可求得解答:解:C=E,ADC=BDE,ADCBDE,=,又AD:DE=3:5,AE=8,AD=3,DE=5,BD=4,=,DC=,故应选A点评:本题考查了相似三角形的判定和性质:对应角相等的三角形是相似三角形,相似三角形对应边成比例5.(2014武汉,第6题3分)如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为( )A(3,
5、3) B(4,3) C(3,1) D(4,1)考点:位似变换;坐标与图形性质分析:利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标解答:解:线段AB的两个端点坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,端点C的坐标为:(3,3)故选:A点评:此题主要考查了位似图形的性质,利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键6. (2014年江苏南京,第3题,2分)若ABCABC,相似比为1:2,则ABC与ABC的面积的比为()A1:2B2:1C1:4D4:1考点:相似三角形的性质分析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即
6、可得解解答:ABCABC,相似比为1:2,ABC与ABC的面积的比为1:4故选C点评:本题考查了相似三角形的性质,熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键7. (2014年江苏南京,第6题,2分)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是()(第2题图)A(,3)、(,4)B(,3)、(,4)C(,)、(,4)D(,)、(,4)考点:矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。分析:首先过点A作ADx轴于点D,过点B作BEx轴于点E,过点C作CFy轴,过点A作AFx轴,交点为F,易得CAFBOE,AODOBE,然后由相
7、似三角形的对应边成比例,求得答案解答:过点A作ADx轴于点D,过点B作BEx轴于点E,过点C作CFy轴,过点A作AFx轴,交点为F,四边形AOBC是矩形,ACOB,AC=OB,CAF=BOE,在ACF和OBE中,CAFBOE(AAS),BE=CF=41=3,AOD+BOE=BOE+OBE=90,AOD=OBE,ADO=OEB=90,AODOBE,即,OE=,即点B(,3),AF=OE=,点C的横坐标为:(2)=,点D(,4)故选B点评:此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用8(2014年山东泰安,第1
8、0题3分)在ABC和A1B1C1中,下列四个命题:(1)若AB=A1B1,AC=A1C1,A=A1,则ABCA1B1C1;(2)若AB=A1B1,AC=A1C1,B=B1,则ABCA1B1C1;(3)若A=A1,C=C1,则ABCA1B1C1;(4)若AC:A1C1=CB:C1B1,C=C1,则ABCA1B1C1其中真命题的个数为()A4个B3个C2个D1个分析:分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项解:(1)若AB=A1B1,AC=A1C1,A=A1,能用SAS定理判定ABCA1B1C1,正确;(2)若AB=A1B1,AC=A1C1,B=B1,不能判定ABC
9、A1B1C1,错误;(3)若A=A1,C=C1,能判定ABCA1B1C1,正确;(4)若AC:A1C1=CB:C1B1,C=C1,能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定ABCA1B1C1,正确故选B点评:本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法二.填空题1.(2014邵阳,第14题3分)如图,在ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BPDF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形: ABPAED 考点:相似三角形的判定;平行四边形的性质专题:开放型分析:可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与
10、原三角形相似判断ABPAED解答:解:BPDF,ABPAED故答案为ABPAED点评:本题考查了相似三角形的判定与性质:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;2(2014云南昆明,第14题3分)如图,将边长为6cm的正方形ABCD折叠,使点D落在AB边的中点E处,折痕为FH,点C落在Q处,EQ与BC交于点G,则EBG的周长是 cm考点:折叠、勾股定理、三角形相似分析:根据折叠性质可得,先由勾股定理求出AF、EF的长度,再根据可求出EG、BG的长度解答:解:根据折叠性质可得,设则,在RtAEF中,即,解得:,所以根据,可得,即,所以,所以EBG的周长为3+4+5=
11、12。故填12点评:本题考查了折叠的性质,勾股定理的运用及三角形相似问题.3. (2014泰州,第15题,3分)如图,A、B、C、D依次为一直线上4个点,BC=2,BCE为等边三角形,O过A、D、E3点,且AOD=120设AB=x,CD=y,则y与x的函数关系式为y=(x0)(第1题图)考点:相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质;圆周角定理分析:连接AE,DE,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,求得AED=120,然后求得ABEECD根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系,从而不难求解解答:解:连接AE,DE,AOD=120,为240,AED=120,BCE为等边三角形
12、,BEC=60;AEB+CED=60;又EAB+AEB=60,EAB=CED,ABE=ECD=120;=,即=,y=(x0)点评:此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力4.(2014滨州,第15题4分)如图,平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等,则= 考点:相似三角形的判定与性质分析:根据相似三角形的判定与性质,可得答案解答:解:DEBC,ADEABCSADE=S四边形BCDE,故答案为:点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似,相似三角形面积的比等于相似比三.解答题1. ( 201
13、4安徽省,第17题8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点ABC(顶点是网格线的交点)(1)将ABC向上平移3个单位得到A1B1C1,请画出A1B1C1;(2)请画一个格点A2B2C2,使A2B2C2ABC,且相似比不为1考点:作图相似变换;作图-平移变换分析:(1)利用平移的性质得出对应点位置,进而得出答案;(2)利用相似图形的性质,将各边扩大2倍,进而得出答案解答:解:(1)如图所示:A1B1C1即为所求;(2)如图所示:A2B2C2即为所求点评:此题主要考查了相似变换和平移变换,得出变换后图形对应点位置是解题关键2. ( 2014安徽省,第18题8分)如图,在同
14、一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成30角,长为20km;BC段与AB、CD段都垂直,长为10km,CD段长为30km,求两高速公路间的距离(结果保留根号)考点:解直角三角形的应用分析:过B点作BEl1,交l1于E,CD于F,l2于G在RtABE中,根据三角函数求得BE,在RtBCF中,根据三角函数求得BF,在RtDFG中,根据三角函数求得FG,再根据EG=BE+BF+FG即可求解解答:解:过B点作BEl1,交l1于E,CD于F,l2于G在RtABE中,BE=ABsin30=20=10km,在RtBCF中,BF=BCcos30=10=km,C
15、F=BFsin30=km,DF=CDCF=(30)km,在RtDFG中,FG=DFsin30=(30)=(15)km,EG=BE+BF+FG=(25+5)km故两高速公路间的距离为(25+5)km点评:此题考查了解直角三角形的应用,主要是三角函数的基本概念及运算,关键把实际问题转化为数学问题加以计算3( 2014安徽省,第19题10分)如图,在O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与O的交点若OE=4,OF=6,求O的半径和CD的长考点:垂径定理;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质专题:计算题分析:由OEAB得到OEF=90,再根
16、据圆周角定理由OC为小圆的直径得到OFC=90,则可证明RtOEFRtOFC,然后利用相似比可计算出O的半径OC=9;接着在RtOCF中,根据勾股定理可计算出C=3,由于OFCD,根据垂径定理得CF=DF,所以CD=2CF=6解答:解:OEAB,OEF=90,OC为小圆的直径,OFC=90,而EOF=FOC,RtOEFRtOFC,OE:OF=OF:OC,即4:6=6:OC,O的半径OC=9;在RtOCF中,OF=6,OC=9,CF=3,OFCD,CF=DF,CD=2CF=6点评:本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性
17、质4. ( 2014福建泉州,第25题12分)如图,在锐角三角形纸片ABC中,ACBC,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上(1)已知:DEAC,DFBC判断四边形DECF一定是什么形状?裁剪当AC=24cm,BC=20cm,ACB=45时,请你探索:如何剪四边形DECF,能使它的面积最大,并证明你的结论;(2)折叠请你只用两次折叠,确定四边形的顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你的折法和理由考点:四边形综合题分析:(1)根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得,根据ADFABC推出对应边的相似比,然后进行转换,即可得出h与x之间的函数关系式,根据平行四边形的面积公式,很容
18、易得出面积S关于h的二次函数表达式,求出顶点坐标,就可得出面积s最大时h的值(2)第一步,沿ABC的对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二步,沿B1对折,使DA1BB1解答:解:(1)DEAC,DFBC,四边形DECF是平行四边形作AGBC,交BC于G,交DF于H,ACB=45,AC=24cmAG=12,设DF=EC=x,平行四边形的高为h,则AH=12h,DFBC,=,BC=20cm,即:=x=20,S=xh=x20=20hh2=6,AH=12,AF=FC,在AC中点处剪四边形DECF,能使它的面积最大(2)第一步,沿ABC的对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二
19、步,沿B1对折,使DA1BB1理由:对角线互相垂直平分的四边形是菱形点评:本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式,求出二次函数表达式,即可求出结论5. ( 2014广东,第25题9分)如图,在ABC中,AB=AC,ADAB于点D,BC=10cm,AD=8cm点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t0)(1)当t=2时,连
20、接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的PEF的面积存在最大值,当PEF的面积最大时,求线段BP的长;(3)是否存在某一时刻t,使PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由考点:相似形综合题分析:(1)如答图1所示,利用菱形的定义证明;(2)如答图2所示,首先求出PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;(3)如答图3所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解解答:(1)证明:当t=2时,DH=AH=2,则H为AD的中点,如答图1所示又EFAD,EF为AD的垂直平分线,AE=DE,AF=DFAB=AC,ADAB于点D,ADBC,
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