【名校资料】高考数学(人教A版,理科,含答案)配套训练 2.8.DOC
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1、+二一九高考数学学习资料+2.8函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x) (xD),把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系3.二分法(1)定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)
2、给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度;求区间(a,b)的中点c;计算f(c);()若f(c)0,则c就是函数的零点;()若f(a)f(c)0,则令bc(此时零点x0(a,c);()若f(c)f(b)0,则令ac(此时零点x0(c,b)判断是否达到精确度:即若|ab|,则得到零点近似值a(或b);否则重复.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在
3、b24ac0时没有零点()(4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值()(5)函数y2sin x1的零点有无数多个()(6)函数f(x)kx1在1,2上有零点,则1k.()2(2013天津)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析当0x1时,f(x)2xlog0.5x12xlog2x1,令f(x)0得log2xx,由ylog2x,yx的图象知在(1,)上有一个交点,即f(x)在(1,)上有一个零点,故选B.3(2013重庆)若abc,则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a,b)和
4、(b,c)内 B(,a)和(a,b)内C(b,c)和(c,)内 D(,a)和(c,)内答案A解析由于ab0,f(b)(bc)(ba)0.因此有f(a)f(b)0,f(b)f(c)0.f(x)在其定义域上是严格单调递增函数f()e40,f(0)e040320,f()e20,f()f()1时,f(x)单调递减,因为f(3)ln 310,f(4)ln 421时,方程f(x)f(a)的实根个数为_思维启迪(1)函数零点的确定问题;(2)f(x)f(a)的实根个数转化为函数g(x)f(x)f(a)的零点个数答案(1)C(2)3解析(1)当x0时,f(x)0.又因为x0,4,所以0x216.因为516,所
5、以函数ycos x2在x2取,时为0,此时f(x)0,所以f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为6.(2)令g(x)f(x)f(a),即g(x)x2a2,整理得:g(x)(xa)(ax2a2x2)显然g(a)0,令h(x)ax2a2x2.h(0)20,h(x)在区间(,0)和(0,a)各有一个零点因此,g(x)有三个零点,即方程f(x)f(a)有三个实数解思维升华函数零点的确定问题,常见的有函数零点值大致存在区间的确定,零点个数的确定,两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法(1)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间
6、是()A(2,1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x),且当x0,1时,f(x)x,则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于4个 B4个C3个 D2个答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2xln 230,f(x)2x3x在R上是增函数而f(2)2260,f(1)2130,f(1)2350,f(2)226100,f(1)f(0)0,即f(x)0有两个不相等的实数根,若实数a满足条件,则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0,a或a1.检验:(1)当f(1)0时,a1
7、,所以f(x)x2x.令f(x)0,即x2x0,得x0或x1.方程在1,3上有两个实数根,不合题意,故a1.(2)当f(3)0时,a,此时f(x)x2x.令f(x)0,即x2x0,解得x或x3.方程在1,3上有两个实数根,不合题意,故a.综上所述,a1.思维升华解决二次函数的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围解方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1,x2(x1x2),则(x11)(x21)0,x
8、1x2(x1x2)10,由根与系数的关系,得(a2)(a21)10,即a2a20,2a1.方法二函数图象大致如图,则有f(1)0,即1(a21)a20,2a0),则原方程可变为t2ata10,(*)原方程有实根,即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1,t2,则解得1a22;若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根,不合题意,舍去),则f(0)a10,解得a0),则a2,其中t11,由基本不等式,得(t1)2,当且仅当t1时取等号,故a22.思维升华对于“af(x)有解”型问题,可以通过求函数yf(x)的值域来解决已知定义在R上的函数yf(x)满足f(x2)f
9、(x),当1x1时,f(x)x3,若函数g(x)f(x)loga|x|至少有5个零点,则a的取值范围是()A(1,5) B(0,)5,)C(0,5,) D,1(1,5答案B解析依题意知函数f(x)的周期为2,在坐标平面内画出函数yf(x)与函数yloga|x|的图象,如图所示,结合图象,可知要使函数g(x)f(x)loga|x|至少有5个零点,则有0a0)(1)若yg(x)m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)f(x)0有两个相异实根思维启迪(1)yg(x)m有零点即yg(x)与ym的图象有交点,所以可以结合图象求解;(2)g(x)f(x)0有两个相异实根yf(x)与y
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