考点11定积分的概念与微积分基本定理-2016届高考理科数学必考考点专题分类训练.pdf
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1、【考点剖析】 1最新考试说明: (1)考查定积分的概念,定积分的几何意义,微积分基本定理 (2)利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程 考点考纲要求考查角度 定积分了解定积分的基本思想;了解定积分的概念求由曲线围成的平面图形的面积 微积分基 本定理 了解微积分基本定理的含义;会用牛顿莱布尼茨公式求被 积函数是简单的幂函数,正、余弦函数,指数函数的定积分 定积分的计算 2命题方向预测: 从近两年的高考试题看,本节内容要求较低,定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的 重点,与几何概型概率的计算相结合是近几年高考的亮点,题型为选择题或填空题,难度中等偏下预测 201
2、6 年利用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等是定积分命题的主要方向,一般以客观 题形式出现 3课本结论总结: (1)用定义求定积分的一般方法是: 分割:n等分区间 a,b ;近似代替:取点ixi 1,xi ;求和: n i 1 f( i) b a n ;取极值: a bf (x)dxlim n n i 1 f( i) b a n (2)定积分的性质 性质 1:() b a kdxk ba=- ; 性质 2: bb aa kfx dxkfx dx(k为常数)(定积分的线性性质) ; 性质 3: 1212 bbb aaa fxfx dxfx dxfx dx(定积分的线性性质) ; 推
3、广: 1212 . bbbb mm aaaa fxfxfx dxfx dxfx dxfx dx 性质 4: bcb aac fx dxfx dxfx dx(其中acb ) (定积分对积分区间的可加性) 推广: 12 1 . k bccb aacc fx dxfx dxfx dxfx dx 说明:定积分的定义中,( ) b a fx dx 限定下限小于上限,即ab,为了方便计算,人们把定积分的概念 扩大,使下限不一定小于上限,并规定:( )( )( ),0 baa aba fx dxf x dxfx dx= -= 蝌? (3)微积分基本定理 一般地,如果f(x) 在区间 a,b 上连续,且F(x
4、) f(x) ,那么 a bf (x)dxF(x)| b aF(b)F(a) 这个 结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼兹公式 (4)常用定积分公式: 0dxc(c为常数); 1dxxc; 1 (1) 1 x x dxc ; 1 lndxxc x ; xx e dxec; (0 ,1) ln x xa a dxc aa a ; sincosxdxxc; cossinxdxxc; 1 sincos(0)axdxaxc a a ; 1 cossin(0)axdxaxc a a 来源 :Z|xx|k.Com 4名师二级结论: 一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”,用“有限”的步骤解决“无
5、限”过程的问题,其方法是“分割求 近似,求和取极限”,利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等恩格斯曾经把对数的发明、解析几 何的创始以及微积分的建立并称为17 世纪数学的三大成就 一种关系 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算 三条性质 (1)常数可提到积分号外;(2)和差的积分等于积分的和差;(3)积分可分段进行 四种求定积分的方法 利用定义求定积分;利用微积分基本定理求定积分;利用定积分的几何意义求定积分如:定积分 0 1 1x 2dx 的几何意义是求单位圆面积的 1 4,所以 0 1 1x 2dx 4 ;利用积分的性质 两类典型的计算曲
6、边梯形面积的方法 (1)x型区域: 由一条曲线)其中0)()(xfxfy与直线)(,babxax以及x轴所围成的曲边梯形的面积: ( ) b Sf x dx a (如图( 1) ) ; 图( 1)图( 2)图( 3)图( 4) 由一条曲线)其中0)()(xfxfy与直线)(,babxax以及x轴所围成的曲边梯形的面积: b a b a dxxfdxxfS)()((如图( 2) ) ; 由一条曲线( )yf x,当axc时,( )0( )0 c a f xf x dx ;当cxb时, ( )0( )0. b c f xf x dx 与直线)(,babxax以及x轴所围成的曲边梯形的面积: ( )
7、( ) cb ac Sf x dxf x dx ( )( ). cb ac f x dxf x dx(如图( 3) ) ; 由两条曲线( )( )yf xyg x,(( )( )f xg x与直线)(,babxax所围成的曲边梯形的面积: ( )( )( )( ). bbb aaa Sf x dxg x dxf xg xdx(如图( 4) ) (2) y型区域: 由一条曲线)其中0xxfy)(与直线)(,babyay以及 y轴所围成的曲边梯形的面积,可由 )(xfy得)( yhx,然后利用 b a dyyhS)(求出(如图(5) ) ; 由一条曲线)其中0xxfy)(与直线)(,babyay以
8、及 y轴所围成的曲边梯形的面积,可由 )(xfy先求出)(yhx,然后利用 b a b a dyyhdyyhS)()(求出(如图(6) ) ; 由两条曲线)()(xgyxfy,与直线)(,babyay所围成的曲边梯形的面积,可由 )()(xgyxfy,先分别求出)( yhx 1 ,)(yhx 2 ,然后利用 b a dyyhyhS|)()(| 21 求出(如图(7) ) ; 图( 5)图( 6)图( 7) 5课本经典习题: 来源:学_ 科_ 网 Z_X_X_K (1)【人教新课标A版 2-2 第 47 页例 1】利用定积分的定义,计算 1 3 0 x dx 的值 【解析】令 3 ( )f xx
9、= 分割:把区间 0,1n 等分,则第i 个区间为: 1 ,(1,2,.,) ii in nn ,每个小区间长度为: 11ii x nnn - =-=V; 近似代替、求和:取()1, 2 , i i in n x =L,则 23 1 2 332 44 0 111 111 111 ( )( )11 44 nnn n iii ii x dxSfxinn nnnnnn ; 取极限: 1 32 0 111 limlim(1) 44 n nn x dxS n 【经典理由】典型的应用定义计算定积分 (2)【人教新课标A版 2-2 第 56 页,例 1】计算由曲线 22 ,yx yx所围成图形的面积S 【变
10、式】由曲线 22 11,2yxyxx所围成图形的面积为_ 【解析 】联立 2 2 11 2 xy xxy 得交点坐标0 , 0 , 1,1 , 11 22 00 (2 )(11)sxx dxxdx, 1 2321 0 0 12 (2 )() 33 xx dxxx 111 2122 0 000 (11)111xdxxx dxx dx, 而 1 2 0 1x dx表示单位圆 22 1xy在第一象限内的部分, 1 2 0 21 1,1 43443 x dxs 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 10.50.511.522.5 g(x) f(
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