考点23三视图与几何体的体积和表面积-2016届高考理科数学必考考点专题分类训练.pdf

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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明： 1. 了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征 2. 能画出简单空间图形( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合) 的三视图，会用斜二测画法画出它们 的直观图 3. 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式 4. 能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化. 5. 会计算球、柱、锥台的表面积和体积( 不要求记忆公式) 2. 命题方向预测 ： 1. 三视图是高考的热点和重点，几乎年年考 2. 空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题

2、 3. 主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力题型多为选择、 填空题 . 3. 课本结论总结： 1. 空间几何体的结构特征 多面体 (1) 棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形. (2) 棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. (3) 棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似 多边形 . 旋转体 (1) 圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2) 圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. (3) 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底 中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截

3、圆锥得 到. (4) 球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2. 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形 状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 3. 空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤： (1) 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、 y轴，两轴相交于点O，且使xOy45( 或 135). (2) 已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x轴、y轴 . (3) 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不

4、变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一 半 . (4) 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴也垂直于xOy平面，已 知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度不变. 4. 柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 来源 : 学.科. 网 体积 柱体 ( 棱柱和圆 柱 ) S表面积S侧2S底VSh 锥体 ( 棱锥和圆 锥 ) S表面积S侧S底 1 V=Sh 3 台体 ( 棱台和圆 台 ) S表 面积S侧S上S下 1 V=(S +S +S S )h 3 下下 上上 球S4R 234 V=R 3 正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的

5、直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面 是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均 相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的 中心 4. 名师二级结论： (1) 解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和 接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个 面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线 长等于球的直径球与旋转体的组合

6、，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的 一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图 (1) 等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形( 或几何体 ) 的面积 ( 或体积 ) 通过 已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱 锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形( 或三棱锥 ) 的高，而通过直接计算得到高的数值 (3) 解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直 线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系. （4）求

7、几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构 成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积， 最后求出组合体的体积. 5. 课本经典习题： （1）必修 2 第 27 页 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) A 2 8- 3 B8- 3 C82D. 2 3 （2）必修 2 第 14 页 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A3a 2 B 6a 2 C 12a 2 D 24a 2 （3）必修 2 第 12 页 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面

8、积中最大的是( ) A8 B6 2 C10 D8 2 6. 考点交汇展示： (1) 三视图与球体交汇 【2015 高考新课标1，理 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球( 半径为r) 组成一个几何体，该几何体 三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 (2) 三视图与体积、面积交汇 【2015 高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A、 1 3 B、 2 3 C、 1 2 3 D、 2 2 3 (3) 体积与基本不等式交汇 已知正三棱柱内接于一个半径为2 的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值

9、时，其底面边长为 A6 B C3 D2 【考点分类】 热点 1 三视图及形状的判断 1. 【 2014 高考北京版理第7题】 在空间直角坐标系Oxyz中, 已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1 ,1,2)ABCD. 若 123 ,S S S分别是三棱锥DABC在,xOy yOz zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A 123 SSS B 21 SS且 23 SS C 31 SS且 32 SS D 32 SS且 31 SS 2. 【2014 高考福建卷第2 题】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（） .A圆柱.B圆锥.C四面体.D三棱柱 3. 【2014

10、高考湖南卷第7 题】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、 打磨、 加工成球， 则能得到的最大球的半径等于（） A.1 B.2 C.3 D.4 4. 【2014 高考湖北卷理第5 题】在如图所示的空间直角坐标系xyzO中，一个四面体的顶点坐标分别是 （0,0,2 ），（ 2,2,0 ），（ 1,2 ，1），（ 2,2,2 ），给出编号、的四个图，则该四面体的正视 图和俯视图分别为（） A.和 B.和 C. 和 D.和 【方法规律】 （1）三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一 样宽即“长对正，宽相等，高平齐” (2) 空间想象能力

11、与多观察实物相结合是解决此类问题的关键(4) 还要注意画直观图时长度的变化 【解题技巧】 来源 :Zxxk.Com 三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长， 侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意 实、虚线的画法 【易错点睛】 注意空间几何体的不同放置对三视图的影响. 注意区分三视图中的实线和虚线. 注意投影在三视图中的应用 例 1：若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ) 例 2：将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( ) 热点 2 三视图及

12、表面积 1. 【2015 高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A3 B4 C24 D34 2. 【2014 高考安徽卷理第7 题】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（） 来源: 学科网 A.21+3 B.18+3 C.21 D.18 3. 【 2014 浙江高考理第3 题】某 几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 90 2 cm B. 129 2 cm C. 132 2 cm D. 138 2 cm 4. 【2014 大纲高考理第8 题】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该 球的表面积为（

13、） A 81 4 B16 C 9 D 27 4 【方法规律】 1在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理 2以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几 何体中各元素间的位置关系及数量关系 3圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积 与底面圆的面积之和. 【解题技巧】 几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系. 【易错点睛】 (1) 熟记常见图形的面积公式 (2) 注意把直观图中的面积转换为平面图形的面积进行求解 例 1：

14、一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为_. 例 2：已知 三棱锥ABCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为_. 热点 3 三视图及体积 1. 【2015 高考湖南，理10】某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大 的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率 = 新工件的体积 原工件的体积 ）（） A. 8 9 B. 16 9 C. 3 4(21) D. 3 12(21) 2. 【2014 辽宁高考理第7 题】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A82B8C8 2 D8

15、4 3. 【2014 全国 2 高考理第6 题】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1cm）, 图中粗线画出的是某 零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为 6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原 来毛坯体积的比值为（） A. 17 27 B. 5 9 C. 10 27 D. 1 3 4. 【 2014 陕西高考理第5 题】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则 该球的体积为（） 32 . 3 A .4B.2C 4 . 3 D 【方法规律】 1计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和 旋转体

16、的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解 2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用 的方法，应熟练掌握 3等积变换法： 利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时， 可选择容易计算的方式来计算； 利用“等积法”可求“点到面的距离”. 【解题技巧】 求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解. 【易错点睛】 1 熟记常见几何体的体积公式 2 三根据视图正确找出几何体的高. 例 1：三棱锥ABCS的顶点都在同一球面上，且4,22SCBCSBACSA，则该球的体积为 A 3 256 B 3 32 C16D64 例 2：一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于 A3 B 2 3 C3 3 D 6 3 【热点预测】 1. 如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2 的等腰直角三角形，则该几何体的 体积是 ( ) A 8 3 B. 8 2 3 C. 4 3 D. 4 2 3 2. 四面体BCDA中，,5,4BDADACBCCDAB则四面体外接球的表面积为（） A33 B43 C36 D18 3. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥ABCD的正视图与俯视图如图所示，则