考点50与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版).pdf
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1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点 50 与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题 【考纲要求】 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利 用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题. 【命题规律】 离散型随机变量的期望与方差的应用,是高考的重要考点,不仅考查学生的理解能力与数学计算能力,而 且不断创新问题情境,突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力,以解答题为主,中等难度 【典型高考试题变式】 与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题 例 1.【2017 课标 3】某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同
2、,进货成本每瓶4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天 最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25 ,需求量为500 瓶;如果最高气温位于区间20 ,25 ), 需求量为300 瓶;如果最高气温低于20 ,需求量为200 瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年 六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高气温10 ,15 )15 ,20 )20 ,25)25 ,30 )30 ,35 )35 ,40 ) 天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月
3、份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元) .当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位: 瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 【分析】( 1)X所有的可能取值为200,300,500,利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列; (2)由题中所给条件分类讨论可得n=300时,Y的数学期望达到最大值,为520 元. 【解析】(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 216 2000.2 90 P X , 36 3000.4 90 P X , 2574 5000.4 90 P X . 因此 X 的分布列为 X 20
4、0300500 P 0.2 0.4 0.4 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520 元. 【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值以及取各值的概率;要理解两种特殊的 概率分布两点分布与超几何分布,并善于灵活运用两性质:一是pi 0(i1,2 ,) ;二是p1p2 pn1 检验分布列的正误. 【变式 1】 【2018 河南省漯河市模拟】汽车4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式,包括整车 销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等。某品牌汽车4S店为了了解A,B,C三种类型汽车质量 问题 ,对售出的三种类型汽车各取100 辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要
5、维修的车辆如下表所示1.表 1 (1)某公司一次性从4S店购买该品牌A,B,C型汽车各一辆,记表示这三辆车的一年内需要维修的 车辆数,求的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率). (2)该品牌汽车4S店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按使事先拟定的各种价格进 行试销相等时间,得到数据如表2. 预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从0?.2,ybxa baybx的关系 ,且该产品的成本是500 元/ 件,为使 4S 店获得最大利润(利润 = 销售收入 -成本 ),该产品的单价应定位多少元? 表 1 车型ABC 频数20 20 40 表 2 单价x(元 ) 8
6、00 820 840 850 880 900 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 【解析】(1)根据表格 , A型车维修的概率为 1 5 , B型车维修的概率为 1 5 , C型车维修的概率为 2 5 . 由题意 , 的可能值为0,1,2,3, 所以 44348 0 555125 p; 14344256 1+ 555555125 p 11314241219 2+ 555555555125 p; 1122 3 555125 p 所以的分布列为 0 1 2 3 p 48 125 56 125 19 125 2 125 所以 48561924 0123 1251251251255 E
7、. 【变式 2】 【2018 四川省德阳市三校联合测试】为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居 民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户). 阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯 来源 学*科* 网 月用电范围(度)(0,210 (210,400 400, 某市随机抽取10 户同一个月的用电情况,得到统计表如下: 居民用电户编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用电量(度) 5 3 86 90 12 4 132 20 0 215 225 300 410 若规定第一阶梯电价每度0.5 元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6 元,第三阶梯超出第二阶梯的部分 每度 0.8 元,试
8、计算A 居民用电户用电41 0 度时应交电费多少元? 现要在这10 户家庭中任意选取3 户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望; 以表中抽到的10 户作为样本估计全市 的居民用电,现从全市中依次抽取 10 户,若抽到k户用电量为第一 阶梯的可能性最大,求k的值 .学!科网 【解析】(1)210 0.54002100.64104000.8227元, 设取到第二阶梯电量的用户数为,可知第二阶梯电量的用户有3 户,则可取 0,1,2,3, 来源:Zxxk.Com 3 7 3 10 7 0 24 C p C 21 73 3 10 21 1 40 C C p C , 12 73 3 10 7 2 4
9、0 C C p C 3 3 3 10 1 3 120 C p C , 故的分布列是 0 1 2 3 p 7 24 21 40 7 40 1 120 所以 721719 0123 24404012010 E, 可知从全市中抽取10 户的用电量为第一阶梯,满足 3 10, 5 XB,可知 10 10 32 55 kk k p XkC0,1 ,2,3,10k , 119 1010 1 1011 10 0 1 0 1 1 3232 ( ) ()( )( ) 5555 3232 ( ) ()()() 5555 kkkkkk kkkkkk CC CC ,解得 2833 55 k, * kN, 所以当6k时
10、,概率最大,所以6k. 【数学思想】 数形结合思想 函数方程思想 转化与化归思想. 【温馨提示】 均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓, 由此可对实际问题作出决策判断;若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究 随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策 【典例试题演练】 1.【2017 河南百校联考】小李参加一种红包接龙游戏:他在红包里塞了12 元,然后 发给朋友A,如果A 猜中,A将获得红包里的所有金额;如果A未猜中,A将当前的红包转发给朋友B,如果B猜中,AB、 平分红包里的金额;如果B未猜中,B将当前的红包转发
11、给朋友C,如果C猜中,AB、和C平分红包里 的金额;如果C未猜中,红包里的钱将退回小李的账户,设ABC、 、猜中的概率分别为 1 1 1 , 3 2 3 ,且 ABC、 、是否猜中互不影响 (1)求A恰好获得4 元的概率; (2)设A获得的金额为X元,求X的分布列; (3) 设B获得的金额为Y元,C获得的金额为Z元,判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的 期望之和 (3)Y的可能取值为0, 4,6;Z的可能取值为0,4 因为 121252111211 0,4,6 332393239323 P YP YP Y, 12121282111 0,4 33232393239 P ZP Z , 所
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