【名校资料】北师大版高三数学(理)总复习:第五章 5.2.DOC
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1、+二一九高考数学学习资料+5.2平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数1、2,使a1e12e2.我们把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),|.3平面向量共线的坐标表示设a
2、(x1,y1),b(x2,y2),其中b0.abx1y2x2y10.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中,向量,的夹角为ABC.()(3)若a,b不共线,且1a1b2a2b,则12,12.()(4)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(5)若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件可表示成.()(6)已知向量a(1sin ,1),b(,1sin ),若ab,则等于45.()2已知点A(6,2),B(1,14),则与共线的单位向量为()A(,)或(,)B(,)C
3、(,)或(,)D(,)答案C解析因为点A(6,2),B(1,14),所以(5,12),|13,与共线的单位向量为(5,12)(,)3已知A(3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在AOB内,|2,且AOC,设 (R),则的值为()A1 B. C. D.答案D解析过C作CEx轴于点E(图略)由AOC,知OECE2,所以,即,所以(2,0)(3,0),故.4 在ABCD中,AC为一条对角线,(2,4),(1,3),则向量的坐标为_答案(3,5)解析,(1,1),(3,5)5 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足,则_.答案解析,(),.题型一平面向量基本定理的应用例1在ABC中
4、,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又t,试求t的值思维启迪根据题意可选择,为一组基底,将,线性表示出来,通过t建立关于t的方程组,从而求出t的值解,32,即22,2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示A,M,Q三点共线,设x(1x)(x1),而,(1).又,由已知t可得,(1)t(),解得t.思维升华平面向量基本定理表明,平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示,题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来,因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解如图,在ABC中,P是BN上的一点,若m,则实数m的值为_答案解析设|y,|x,则,yx得,令,得yx,代
5、入得m.题型二平面向量的坐标运算例2已知A(1,2),B(2,1),C(3,2),D(2,3),(1)求23;(2)设3,2,求及M、N点的坐标思维启迪(1)先计算、的坐标,然后再运算;(2)根据向量的坐标相等列方程求点M,N的坐标解(1)A(1,2),B(2,1),C(3,2),D(2,3),(21,32)(3,5),(22,31)(4,2),(32,21)(1,1),23(3,5)2(4,2)3(1,1)(383,543)(14,6)(2)3,2,2323,由A、B、C、D点坐标可得(3,2)(1,2)(2,4)2(1,1)3(2,4)(4,10)设M(xM,yM),N(xN,yN)又3,
6、3(),(xM,yM)(3,2)3(1,2)(3,2)(6,12)xM3,yM10,M(3,10)又2,即2,(xN,yN)(3,2)2(1,1),xN1,yN0,N(1,0)思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则已知A(2,4),B(3,1),C(3,4)设a,b,c,且3c,2b,(1)求3ab3c;(2)求满足ambnc的实数m,n;(3)求M、N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5,5),b(6,3),c(1,8)(1)3ab3c3(5,5)(6,3)3(1,8)(1563
7、,15324)(6,42)(2)mbnc(6mn,3m8n),解得(3)设O为坐标原点,3c,3c(3,24)(3,4)(0,20)M(0,20)又2b,2b(12,6)(3,4)(9,2),N(9,2)(9,18)题型三向量共线的坐标表示例3(1)已知梯形ABCD,其中ABCD,且DC2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为_(2)已知向量a(3,1),b(1,3),c(k,7),若(ac)b,则k_.思维启迪(1)根据向量共线列式求相关点的坐标;(2)根据向量共线求参数答案(1)(2,4)(2)5解析(1)在梯形ABCD中,DC2AB,2.设点D的坐标为(x
8、,y),则(4,2)(x,y)(4x,2y),(2,1)(1,2)(1,1),(4x,2y)2(1,1),即(4x,2y)(2,2),解得,故点D的坐标为(2,4)(2)依题意得ac(3,1)(k,7)(3k,6),又(ac)b,故,k5.思维升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2x2y10;若ab(a0),则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解(1)已知向量a(1,2),b(1,0),c(3,4)若为实数,(ab)c,则等于()A.
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