【名校资料】北师大版高三数学(理)总复习:第十一章 11.3.DOC
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1、+二一九高考数学学习资料+11.3变量间的相关关系、统计案例1 相关性(1)通常将变量所对应的点描出来,这些点就组成了变量之间的一个图,通常称这种图为变量之间的散点图(2)从散点图上,如果变量之间存在某种关系,这些点会有一个集中的大致趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似,这样的近似过程称为曲线拟合(3)若两个变量x和y的散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,则称变量间是线性相关,若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动,称此相关是非线性相关如果所有的点在散点图中没有显示任何关系,则称变量间是不相关的2 回归方程(1)最小二乘法如果有n个点(x1,y1),(x2,y2),
2、(xn,yn),可以用y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2来刻画这些点与直线yabx的接近程度,使得上式达到最小值的直线yabx就是所要求的直线,这种方法称为最小二乘法(2)回归方程方程ybxa是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)的回归方程,其中a,b是待定参数.3 回归分析(1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)中(,)称为样本点的中心(3)相关系数r;当r0时,表明两个变量正相关;当r6.635,所以有99%的
3、把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法,比采用简单随机抽样方法更好思维升华(1)根据样本估计总体是抽样分析的一个重要内容要使估计的结论更加准确,抽样取得的样本很关键(2)根据独立性检验知,需要提供服务的老人与性别有关,因此在调查时,采取男、女分层抽样的方法更好,从而看出独立性检验的作用某中学对“学生性别和是否喜欢看NBA比赛”作了一次调查,其中男生人数是女生人数的2
4、倍,男生喜欢看NBA的人数占男生人数的,女生喜欢看NBA的人数占女生人数的.(1)若被调查的男生人数为n,根据题意建立一个22列联表;(2)若有95%的把握认为是否喜欢看NBA和性别有关,求男生至少有多少人?解(1)由已知得:喜欢看NBA不喜欢看NBA总计男生n女生总计n(2)2n.若有95%的把握认为是否喜欢看NBA和性别有关,则23.841,即n3.841,n10.24.,为整数,n最小值为12.即:男生至少12人统计中的数形结合思想典例:(12分)某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示:年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.1
5、1.91.82.12.22.3(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系;(2)如果某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出思维启迪可以画出散点图,根据图中点的分布判断家庭年收入和年饮食支出的线性相关性规范解答解(1)由题意,知年收入x为解释变量,年饮食支出y为预报变量,作散点图如图所示3分从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系4分因为6,1.83,406,35.13,iyi117.7,所以b0.172,ab1.830.17260.798.从而得到线性回归方程为y0.172x0.798.8分(2)y0.
6、17290.7982.346(万元)所以家庭年收入为9万元时,可以预测年饮食支出为2.346万元12分温馨提醒(1)在统计中,用样本的频率分布表、频率分布直方图、统计图表中的茎叶图、折线图、条形图,去估计总体的相关问题,以及用散点图判断相关变量的相关性等都体现了数与形的完美结合借助于形的直观,去统计数据,分析数据,无不体现了数形结合的思想(2)本题利用散点图分析两变量间的相关关系,充分体现了数形结合思想的应用(3)本题易错点为散点图画的不准确,导致判断错误方法与技巧1 求回归方程,关键在于正确求出系数a,b,由于a,b的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误(注意线性回归方
7、程中一次项系数为b,常数项为a,这与一次函数的习惯表示不同)2 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法主要解决:(1)确定特定量之间是否有相关关系,如果有就找出它们之间贴近的数学表达式;(2)根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势;(3)求出线性回归方程3 根据2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度失误与防范1 相关关系与函数关系的区别:相关关系与函数关系不同函数关系中的两个变量间是一种确定性关系例如正方形面积S与边长x之间的关系Sx2就是函数关系相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系例如商品的销售额与广告费是相关关系两个变量具有相关关系是回
8、归分析的前提2 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义根据回归方程进行预报,仅是一个预报值,而不是真实发生的值A组专项基础训练(时间:40分钟)一、选择题1 某地区调查了29岁的儿童的身高,由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为y8.25x60.13,下列叙述正确的是()A该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cmB该地区29岁的儿童每年身高约增加8.25 cmC该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cmD利用这个模型可以准确地预算该地区每个29岁儿童的身高答案B2 设(
9、x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是 ()A直线l过点(,)Bx和y的相关系数为直线l的斜率Cx和y的相关系数在0到1之间D当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同答案A解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值,它的绝对值越接近1,两个变量的线性相关程度越强,所以B、C错误D中n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数可以不相同,所以D错误根据线性回归直线一定经过样本点中心可知A正确3 (2012湖南)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具
10、有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i1,2,n),用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71,则下列结论中不正确的是()Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心(,)C若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg答案D解析由于线性回归方程中x的系数为0.85,因此y与x具有正的线性相关关系,故A正确又线性回归方程必过样本点中心(,),因此B正确由线性回归方程中系数的意义知,x每增加1 cm,其体重约增加0.85 kg,故C正确当某女生的身高为170 cm时,其体重估计值是58
11、.79 kg,而不是具体值,因此D不正确4 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男女总计爱好402060不爱好203050总计605011027.8.下面结论正确的是()A有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”答案A解析根据独立性检验的定义,由27.86.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.5 某产品的广告费用x与销售额y的统
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