考点15平面向量的数量积-2016届高考文科数学必考考点专题分类训练.pdf
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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明: (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 2. 命题方向预测: 向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点,属中低档题目平面向量数量积的计算,向量垂 直条件与数量积的性质常以客观题形式命题;解答题以向量为载体,常与三角函数交汇命题,重视数形结 合与转化化归思想考查 3. 课本结论总结: (1)两个向量的夹角 定义:已知两个非零向量a和b,作OAa,OBb,则AOB 叫做向量
2、a与b的夹角 范围:向量夹角 的范围是0 180 ,a与b同向时,夹角0;a与b反向时,夹角 180. 向量垂直:如果向量a与b的夹角是90,则a与b垂直,记作ab. (2)平面向量数量积 已知两个非零向量a与b,则数量 |a|b| cos 叫做a与b的数量积,记作ab,即ab|a|b|cos ,其中 是a与b的夹角 规定 0a0. 向量的投影:|b|cos叫向量b在向量a方向上的投影 当ab时, 90,这时ab0. ab的几何意义: 数量积ab等于a的长度 |a| 与b在a的方向上的投影|b| cos 的乘积 (3)向量数量积的性质 如果e是单位向量,则aeea. abab0. aa|a|
3、2, |a |=aa. cos ab |a |b| .( 为a与b的夹角 ) |ab| |a|b|. (4)数量积的运算律 交换律:abba. 分配律: (ab) cacbc. 对 R,(ab) ( a) ba( b) (5)数量积的坐标运算 设a(a1,a2) ,b(b1,b2) ,则: aba1b1a2b2. aba1b1a2b2 0. |a| a 2 1a 2 2. cos ab |a |b| 1 122 2222 1212 aba b aabb .( 为a与b的夹角 ) 4. 名师二级结论: (1) 向量 b在a的方向上的投影为|b| cos = | ab a . (2)若向量ab,且
4、b= 11 (,)x y,则可设a= 11 (,)xy. 5. 课本经典习题: (1) 新课标 A版第 108 页,习题 2.4A 组第 3 题 来源: 学科网 ZXXK 已知 |a|=2 ,|b|=5 ,ab=-3,求 |a+b|,|a-b|. 【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题. 来源:学科网 (2) 新课标 A版第 108 页,习题2.4A 组第 7 题 已知 |a|=4 ,|b|=3 ,(2a-3b) (2a+b)=61,求a与b的夹角 . 【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题. 6. 考点交汇展示: (1) 与平面几何交汇 【2015 届北京重点中学8
5、 月开学测试13】已知菱形ABCD的边长为2,120BAD ,点,E F分别在边 ,BC DC上,3BCBE,DCDF. 若1AE AF ,则的值为 . (2) 与不等式交汇 1. 【2015 高考陕西,文8】 对任意向量,a b,下列关系式中不恒成立的是( ) A| |ababB| | |ababC 22 ()|ababD 22 ()()ab abab 2.【2015 届湖北部分重点中学高三起点考试9】已知向量,a b,满足|a=1,a与b的夹角为 3 ,若对一 切实数 x ,|2| |x abab 恒成立,则|b 的取值范围是( ). A. B. C. D. (3)与函数交汇 【2014
6、届湖南十三校联考第二次考试】已知ABC 的三内角分别为, 3 A B C B, 向量 (1cos2 , 2sin),ACm(tan,An 来源 : 学科网 ZXXK cos )C, 记函数( )f Am n. (1)若()0,2f Ab, 求ABC 的面积; (2)若关于A的方程()f Ak有两个不同的实数解, 求实数 k 的取值范围 【考点分类】 热点 1 平面向量数量积及其几何意义 1. 【2015 高考广东,文9】在平面直角坐标系x y中,已知四边形CD是平行四边形,1, 2, D2,1 ,则DC() A2B3C4D5 2. 【2015 高考四川, 理 7】 设四边形ABCD 为平行四边
7、形,6AB,4AD. 若点 M , N满足3BMMC, 2DNNC,则AM NM () (A)20 (B)15 (C) 9 (D)6 3. 【2015 高考安徽, 理 8】C是边长为2的等边三角形, 已知向量a,b满足2a,C2ab, 则下列结论正确的是() (A)1b(B)ab(C)1a b(D) 4Cab 1, 1, 4. 【 2015 高考福建,理9】已知 1 ,ABAC ABACt t ,若P点是ABC所在平面内一点,且 4ABAC AP ABAC ,则PB PC 的最大值等于() A13 B15 C19 D21 【方法规律】 1. 平面向量数量积的计算方法 已知向量a,b的模及夹角
8、,利用公式ab|a|b|cos 求解; 已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解; 用平面向量数量积的几何意义计算. 2. 对 于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算 【解题技巧】 1.在解决与平面几何有关的数量积问题时,充分利用向量的线性运算,将所求向量用共同的基底表示出来, 再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解. 2.计算向量b在向量a方向上的投影有两种思路:思路1,用 |b|cos计算 ; 思路 2,利用 ab |a | 计算 . 3.在计算向量数量积时,若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算,可以利用向量数量积的几何意 义计算 . 【
9、易错点睛】 1. 向量的数量积不满足消去率和结合律. 2. 一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值,不是向量也不是线段长度,是一个实数,可以为正, 也可以为负,还可以为0. 3. 若ab=0, 则a=0 或b=0 或ab, 与实数乘积不同. 例已知平面向量a,b,c,下列说法中: 若ab=ac, 则a=c;a(bc)=(ab)c; 若ab=0, 则a=0 或b=0; ab|a|b| ,正确的序号为 . 【错解】 【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质,套用实数的运算法则和性质. 【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质. 【正解】因平面向量
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