最新 【人教版】高中数学(人教A版,选修4-5)教师用书【156页】.DOC
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1、最新精品资料最新精品资料最新精品资料新课标数 学选修45一不等式1不等式的基本性质课标解读1.理解实数大小与实数运算性质间的关系2理解不等式的性质,能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式.1两实数大小的比较abab0;abab0;ababbbb,bc,那么ac性质3可加性如果ab,那么acbc推论如果ab,cd,那么acbd性质4可乘性如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acb0,cd0,那么acbd性质5乘方性质如果ab0,那么anbn(nN,n2)性质6开方性质如果ab0,那么(nN,n2)1甲同学认为abb0b,ab03,试比较A与B的大小【思路探究】转化为考察“两者之
2、差与0”的大小关系【自主解答】ABx333x2xx2(x3)(x3)(x3)(x1)(x1)x3,(x3)(x1)(x1)0,x333x2x.故AB.1本题的思维过程:直接判断(无法做到)考查差的符号(难以确定)考查积的符号考查积中各因式的符号(成功!)其中变形是关键,定号是目的2在变形中,一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断变形的常用技巧有:因式分解、配方、通分、分母有理化等若例1中改为“A,B,其中xy0”,试比较A与B的大小【解】因为A2B2,且xy0,所以xy0,xy0,x20,x211,所以0.所以A2B2,又A0,B0,故有AB.不等式的基本性质判断下列命题是否正确,并说明理由
3、(1)若ab,则ac2bc2;(2)若,则ab;(3)若ab,ab0,则b,cd,则acbd.【思路探究】主要是根据不等式的性质判定,其实质就是看是否满足性质所需要的条件【自主解答】(1)错误当c0时不成立(2)正确c20且c20,在两边同乘以c2,ab.(3)错误ab0.(4)错误ab,cdacbd,当a,b,c,d为正数时成立1在利用不等式的性质判断命题真假时,关键是依据题设条件,正确恰当地选取使用不等式的性质有时往往举反例,否定命题的结论但要注意取值一定要遵循两个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算2运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能
4、凭想当然随意捏造性质判断下列命题的真假(1)若ab;(2)若|a|b,则a2b2;(3)若abc,则a|c|b|c|.【解】(1)ab0.0.ab,取a1,b3但a2b,c0,有a|c|b|c|0,(3)是假命题利用不等式的性质求范围已知,求,的范围【思路探究】由可确定,的范围,进而确定,的范围【自主解答】,.又,又,0,0,即(,),0)1本例中由,的范围求其差的范围,一定不能直接作差,而应转化为同向不等式后作和求解2求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础已知6a8,2b3,分别求ab,的取值范围【解】6a8,2b3.3
5、b2,9ab6,则ab的取值范围是(9,6)又,(1)当0a8时,04;(2)当6a0时,30.由(1)(2)得3ab0,求证:.【思路探究】构造分母关系构造分子关系证明不等式【自主解答】ab,aab0,0ca0.又ab0,.1在证明本例时,连续用到不等式的三个性质,一是不等式的乘法性质,cdd0;二是不等式的加法性质,ab,则cd0,acbd;三是倒数性质最后再次用到不等式的乘法性质2进行简单的不等式的证明,一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上;并仔细分析要证明不等式的结构,灵活运用性质,对不等式进行变换已知ab0,cd0,求证:.【证明】ab0,cd0,0,0,得0,即0,.(教材第
6、10页习题1.1第3题(2)求证:如果ab0,cd0,那么ac2aBa22aC.12a【答案】D2已知m,nR,则成立的一个充要条件是()Am0n Bnm0Cmn0Dmn(mn)0【解析】00mn(nm)0mn(mn)0.【答案】D3已知a,b,c均为实数,下面四个命题中正确命题的个数是()ab0a2b2;cabc;ac2bc2ab;ab01.A0 B1C2D3【解析】不正确ab0,ab0,(a)2(b)2,即a2b2.不正确c,若b0,则abc.正确ac2bc2,c0,ab.正确ab0,ab0.10.【答案】C4若1a3,4b2,那么a|b|的取值范围是_【解析】4b2,0|b|4,4|b|
7、0,又1a3,3a|b|b,cd,则下列结论正确的是()Aacbd BacbdCacbdD【解析】ab,cd,acbd.【答案】A2已知a,b是实数,则“a0且b0”是“ab0且ab0”的()A充分不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【解析】当a0且b0时,一定有ab0且ab0.反之,当ab0,ab0时,一定有a0,b0.【答案】C3(2013开封检测)若ab B2a2bC|a|b|0D()a()b【解析】考查不等式的基本性质及其应用取a2,b1验证即可求解【答案】B4设a,b为实数,则“0ab1”是“b”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分
8、也不必要条件【解析】0ab1当a0且b0时可推得b,所以“0ab1”不是“b”的充分条件,反过来若b,当b0且a0时,有ab0,推不出“0ab1”,所以“0ab1”也不是“b”的必要条件,由知,应选D.【答案】D二、填空题5给出四个条件:b0a,0ab,a0b,ab0.能得出成立的有_【解析】00,可推出1,b1,b1,(a1)(b1)0,ab1ab0,ab1ab.【答案】0,ca,bca.8(1)已知ab0,cd0,求证:;(2)若ab0,cd0,e0,求证:.【证明】(1)cd0,cd0.0,又ab0,0. ,即.两边同乘以1,得.(2)cd0,cd0.ab0.acbd0.(ac)2(bd
9、)20,又e0,.9设x,y为实数,且3xy28,49,求的取值范围【解】由49,得1681.又3xy28,.由得1681,即227,因此的取值范围是2,27教师备选10若已知二次函数yf(x)的图象过原点,且1f(1)2,3f(1)4.求f(2)的范围【解】二次函数yf(x)的图象过原点,可设f(x)ax2bx(a0)f(2)4a2b3f(1)f(1)1f(1)2,3f(1)4,6f(2)10,即f(2)的范围是6,10.2基本不等式课标解读1.了解两个正数的算术平均数与几何平均数2理解定理1和定理2(基本不等式)3掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题.1两个定理及算术平均与几何
10、平均(1)算术平均与几何平均如果a,b都是正数,我们称为a,b的算术平均,为a,b的几何平均(2)两个定理定理内容等号成立的条件定理1a2b22ab(a,bR)当且仅当ab时等号成立定理2(a、bR)当且仅当ab时等号成立2.利用基本不等式求最值已知x,y为正数,xyS,xyP,则(1)如果P是定值,那么当且仅当xy时,S取得最小值2;(2)如果S是定值,那么当且仅当xy时,P取得最大值.1在基本不等式中,为什么要求a0,b0?【提示】对于不等式,如果a,b中有两个或一个为0,虽然不等式仍成立,但是研究的意义不大,当a,b都为负数时,不等式不成立;当a,b中有一个为负数,另一个为正数,不等式无
11、意义2利用求最值的条件是怎样的?【提示】利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即:(1)各项或各因式为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值3你能给出基本不等式的几何解释吗?【提示】如图以ab为直径的圆中,DC,且DCAB. 因为CD为圆的半弦,OD为圆的半径,长为,根据半弦长不大于半径,得不等式.显然,上述不等式当且仅当点C与圆心重合,即当ab时,等号成立因此,基本不等式的几何意义是:圆的半弦长不大于半径;或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高.基本不等式的理解与判定命题:任意x0,lg x2;任意xR,ax2;任意x,tan x2;任意xR,sin x2.其
12、中真命题有()A BCD【思路探究】按基本不等式成立的条件进行判定【自主解答】在中,lg xR,sin x1,1,不能确定lg x0与sin x0.因此是假命题在中,ax0,ax22,当且仅当x0时,取等号,则是真命题;在中,当x(0,)时,tan x0,有tan x2,且x时取等号,是真命题【答案】C1本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件在定理1和定理2中,“ab”是等号成立的充要条件但两个定理有区别又有联系:(1)是a2b22ab的特例,但二者适用范围不同,前者要求a,b均为正数,后者只要求a,bR;(2)a,b大于0是的充分不必要条件;a,b为实数是a2b22ab的充要条件2当
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