选修4-4坐标系与参数方程-高考文科数学通用讲义.pdf
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1、重点增分专题十三选修 44坐标系与参数方程 全国卷 3 年考情分析 年份全国卷全国卷全国卷 2018 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化、曲线方程的求解 参数方程与直角坐标方程 的互化、参数方程的应用 参数方程与普通方程的互 化、参数方程的应用 2017 参数方程与普通方程的互 化、点到直线的距离 直 角 坐 标 与 极 坐 标 的 互 化、动点轨迹方程的求法、 三角形面积的最值问题 直线的参数方程与极坐标 方程、动点轨迹方程的求 法 2016 参数方程与普通方程的互 化、极坐标方程与直角坐 标方程的互化及应用 极坐标方程与直角坐标方 程的互化及应用、直线与 圆的位置关系 参数方程、极
2、坐标方程及 点到直线的距离、三角函 数的最值 (1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面:一是 简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用 (2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现,难度中等,备考此部分内容时 应注意转化思想的应用 考点一极坐标保分考点 练后讲评 1.极坐标方程化直角坐标方程 (2018 全国卷 )在直角坐标系xOy 中,曲线C1的方程 为 y k|x| 2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程 为 22 cos 30. (1)求 C2的直角坐标方程; (2)若 C1与 C2有且仅有三
3、个公共点,求 C1的方程 解: (1)由 x cos , y sin 得 C2的直角坐标方程为(x 1)2y 24. (2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0),半径为2 的圆 由题设知, C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记y 轴右边的射线为l1,y 轴 左边的射线为l2. 由于点 B 在圆 C2的外面,故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于l1与 C2只有一个公共 点且 l2与 C2有两个公共点,或l2与 C2只有一个公共点且l1与 C2有两个公共点 当 l1与 C2只有一个公共点时,点A 到 l1所在直线的距离为2, 所以 |k2| k 212,故 k 4 3或 k
4、0. 经检验,当k0 时, l1与 C2没有公共点; 当 k 4 3时, l1 与 C2只有一个公共点,l2与 C2有两个公共点 当 l2与 C2只有一个公共点时,点A 到 l2所在直线的距离为2, 所以 |k2| k 21 2,故 k0 或 k 4 3. 经检验,当k0 时, l1与 C2没有公共点; 当 k 4 3时, l 2与 C2没有公共点 综上,所求C1的方程为y 4 3|x|2. 2.直角坐标方程化极坐标方程 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C1的方程为 (x 3)2 (y2) 24,直线 C 2的方程为 y 3 3 x,以 O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系求曲线C
5、1和直线 C2的极坐标方程 解: 曲线 C1的普通方程为(x3)2(y2)24, 即 x2y223x4y30, 曲线 C1的极坐标方程为 22 3 cos 4 sin 3 0. 直线 C2的方程为y 3 3 x, 直线 C2的极坐标方程为 6( R) 3.极坐标方程的应用 (2017 全国卷 )在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为 cos 4. (1)M 为曲线 C1上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 |OM | |OP|16,求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为2, 3 ,点 B 在曲线 C2
6、上,求 OAB 面积的最大值 解: (1)设 P 的极坐标为 ( , )( 0),M 的极坐标为 ( 1, )(10) 由题设知 |OP| ,|OM| 1 4 cos . 由|OM | |OP|16,得 C2的极坐标方程 4cos ( 0) 因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0) (2)设点 B 的极坐标为 (B, )(B 0), 由题设知 |OA|2, B4cos ,于是 OAB 面积 S 1 2|OA| B sinAOB4cos sin 32 sin 2 3 3 2 . 当 12时, S取得最大值 23. 所以 OAB 面积的最大值为23. 解题方略 1直角坐标与极坐标方程的互
7、化 (1)直角坐标方程化极坐标方程时,可以直接将x cos ,y sin 代入即可 (2)极坐标方程化直角坐标方程时,一般需要构造 2, sin , cos ,常用的技巧有式 子两边同乘以 ,两角和与差的正弦、余弦展开等 2求解与极坐标有关的问题的主要方法 (1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想结合使用; (2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化 为极坐标 . 考点二参数方程保分考点 练后讲评 1.普通方程化参数方程 在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为 sin2 cos 0, M 1, 2 .以极点 O 为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系
8、斜率为 1 的直线 l 过点 M,且与曲线C 交于 A,B 两点求曲线C 和直线 l 的参数方程 解: 由 sin 2 cos 0 得 2sin2 cos , y 2x,故曲线 C 的直角坐标方程为y 2x. 故曲线 C 的参数方程为 x t 2, yt (t 为参数 ), 由题意, M 的直角坐标为(0,1), 则直线 l 的参数方程为 x tcos 3 4 , y1tsin 3 4 (t 为参数 ), 即 x 2 2 t, y1 2 2 t (t 为参数 ) 2.参数方程化普通方程 (2018 全国卷 )在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为 x 2cos , y4sin (为参数
9、),直线 l 的参数方程为 x1tcos , y2tsin (t 为参数 ) (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率 解:(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 4 y 2 161.当 cos 0 时, l 的直角坐标方程为 ytan x2tan , 当 cos 0时, l 的直角坐标方程为x1. (2)将 l 的参数方程代入C 的直角坐标方程, 整理得关于t 的方程 (13cos 2 )t24(2cos sin )t 80. 因为曲线C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内, 所以有两个解,设为t1,t
10、2,则 t1t20. 又由得t1t2 4 2cos sin 13cos 2 , 故 2cos sin 0, 于是直线l 的斜率 k tan 2. 解题方略 参数方程化为普通方程消去参数的方法 (1)代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参数,直线的参数方程通常用代入 消参法 (2)三角恒等式法:利用sin 2 cos2 1 消去参数,圆的参数方程和椭圆的参数方程都 是运用三角恒等式法 (3)常见消参数的关系式: t 1 t 1; t 1 t 2 t1 t 24; 2t 1t 2 2 1t 2 1t 2 21. 考点三极坐标与参数方程的综合应用 增分考点 广度拓展 分点研究 题型一直线的参数
11、方程中参数几何意义的应用 例 1(2019 届高三 湖北五校联考 )在平面直角坐标系xOy 中,曲线C1过点 P(a,1), 其参数方程为 xa 2t 2 , y1 2t 2 (t 为参数, aR) 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,建立 极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 cos 2 4cos 0. (1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程; (2)已知曲线C1与曲线 C2交于 A,B 两点,且 |PA|2|PB|,求实数 a 的值 解(1)曲线 C1的参数方程为 xa 2t 2 , y 1 2t 2 (t 为参数, aR), 曲线 C1的普通方程为x ya10. 曲线 C2
12、的极坐标方程为 cos 2 4cos 0, 2 cos 2 4 cos 20, 又 cos x, 2x2y2, x24xx2y20, 即曲线 C2的直角坐标方程为y 24x. (2)设 A,B 两点所对应的参数分别为t1,t2, 由 y 24x, xa 2t 2 , y1 2t 2 , 得 t22 2t28a0. (2 2) 24(2 8a)0,即 a0, t1t22 2, t1 t228a, 根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|t1|,|PB| |t2|, 由 |PA|2|PB|得 t12t2或 t1 2t2, 当 t12t2时,有 t1t23t22 2, t1 t2 2t 2 228a
13、, 解得 a 1 360,符合题意, 当 t1 2t2时,有 t1t2 t22 2, t1 t2 2t 2 228a, 解得 a9 40,符合题意 综上所述, a 1 36或 a 9 4. 变式 1本例 (2)的条件变为 |PA|PB|6.求实数 a 的值 解: 由本例解析知|PA| |PB|t1|t2|t1t2|28a|6, 解得 a1 或 1 2.又 a0, a1. 变式 2若本例曲线C1变为过点 P(0,1),其参数方程为 x2t, y 12t (t 为参数 ), 其他条件不变,求|PA| |PB|. 解:曲线 C1的参数方程化为 x 2 2 t, y 1 2 2 t, 代入曲线C2的方
14、程 y 2 4x 得 t26 2t 20. 设 A,B 对应的参数分别为t1,t2,则 t1t26 2, t1t2 2, t10,t20. |PA|PB|t1|t2|t1t2|6 2. 解题方略 利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点 P(x0, y0), 倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0 tcos , yy0tsin (t 为参数 ) 若 A, B 为直线 l 上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段 AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数 为 t0,则以下结论在解题中经常用到: (1)t0 t1 t2 2 ; (2)|PM |t0| t1t2 2 ; (3)|AB
15、|t2t1|; (4)|PA| |PB|t1 t2|. 题型二极坐标方程中极径几何意义的应用 例 2在平面直角坐标系xOy 中,圆 C 的参数方程为 x1cos , ysin (为参数 ),以 坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是2 sin 3 3 3,射线 OM : 3与圆 C 的交点为 O,P, 与直线 l 的交点为Q,求线段PQ 的长 解(1)由圆 C 的参数方程为 x1 cos , ysin (为参数 ), 可得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21,即 x2 y 2 2x0. 由极坐标方程与直角坐标方
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