《2019年高考数学一轮复习:专题4.7正余弦定理(讲).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019年高考数学一轮复习:专题4.7正余弦定理(讲).pdf(7页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1 【考纲解读】 内容 要求备注 A B C 解 三 角 形 正弦定理、余弦定理及 其应用 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形 度量问题 【直击考点】 题组一常识题 1在ABC中,B 45,C60,c2,则最短边的边长等于_ 2 在ABC中,已知a5,b23,C30,则c_ 【解析】由余弦定理得c 2a2 b 22abcos C5 2(2 3) 2252 3cos 30 7, 所以c7. 3在ABC中,a 2 c 2 b 2 2ab,则C_. 【解析】因为cos C a 2 b 2 c 2 2ab 2 2 ,所以C45. 题组二常错题 4在ABC中,若 sin Asin B,则A
2、与B的大小关系是_ 【解析】由正弦定理,有sin A a 2R ,sin B b 2R ,所以若sin Asin B,则 a 2R b 2R ,即 ab,故AB. 5在ABC中,若A60,a43,b42,则B _. 2 【解析】由正弦定理,有 a sin A b sin B ,则 sin B bsin A a 42 3 2 43 2 2 . 又ab, 所以AB,所以B为锐角,故B45. 6在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a 2 b 2 3bc,sin C23sin B,则A_ 题组三常考题 7在ABC中,B 4 ,BC边上的高等于 1 4BC ,则 sin A _ 【解析】
3、设BC边上的高线为AD,则BC4AD,DC3AD,所以ACAD 2 DC 2 10AD, 由正弦定理得 AC sin B BC sin A ,即 10AD 2 2 4AD sin A ,解得 sin A 25 5 . 8 已知钝角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且a为最大边, 23 cos 2A cos 2A0,a 6,c5,则b_ 【解析】由23cos 2A cos 2A0 得 25cos 2A 10,又ABC是钝角三角形,且a为最 大边,所以cos A 1 5. 由 a 2b2 c 22bccos A,即 6 2 b 2522b5 1 5 ,解得b 23 1(负值舍去
4、 ) 【知识清单】 考点 1 正弦定理 正弦定理: a sin A b sin B c sin C 2R,其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变 形为: abcsin A sin B sin C; a2Rsin_A,b2Rsin_B,c2Rsin_C; sin A a 2R , sin B b 2R ,sin C c 2R 等形式,以解决不同的三角形问题 面积公式S 1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B 考点 2 余弦定理 余弦定理: 222 2cosabcabC, 222 2cosbcaacA, 3 222 2coscabacB. 变形公式cos A b 2
5、c 2 a 2 2bc ,cos B a 2 c 2 b 2 2ac ,os C a 2 b 2 c 2 2ab 考点 3 正弦定理与余弦定理的综合运用 【考点深度剖析】 综合近年的高考试卷可以看出:三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点, 经常稳定在解答题中出现,中等难度,故这部分知识应引起充分的重视 【重点难点突破】 考点 1 正弦定理 【1-1 】在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b 2, B30,C15,则a等于 . 【答案】 22 【解析】A1803015135, 4 由正弦定理 a sin A b sin B ,得 a 2 2 2 1 2 ,即a22.
6、【 1-2 】在 ABC中,角 ABC, ,的对边分别为abc, ,若角ABC, ,依次成等差数 列,且1a,3b,则 ABC S . 【答案】 2 3 【解析】 ABC, , 依次成等差数列,60B,由正弦定理 sinsin ba BA , 3 1 sin1 2 sin 2 3 aB A b ,30A或150(舍去),90C, 113 13 222 ABC Sab. 【思想方法】 已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可 已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角, 这是解题的难点,应引起注意 已知两边和其中一边的对角,解三角形时,
7、注意解的情况如已知a,b,A,则 A为锐角A为钝角或直角 图形 关系式absin A absin A bsin Aa b ab ab ab 解的个数无解一解两解一解一解无解 【温馨提醒】用正弦定理求出某一个角的正弦值后,在0 到180之间对应的角有两个,特 别注意验证这两个是否满足条件. 考点 2 余弦定理 【2-1 】已知ABC中, sin Asin Bsin C113,则此三角形的最大内角的度数 是 . 5 【答案】 120 【2-2 】已知ABC的一个内角是120,三边长构成公差为4 的等差数列, 则三角形的面积 是 . 【答案】 153 【思想方法】 已知三边(abc如、 、 ),由余
8、弦定理任一角. 已知两边和夹角(abC如、 、 ),由余弦定理求出对对边 【温馨提醒】等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解 考点 3 正弦定理与余弦定理的综合运用 【3-1 】在ABC中,BC边上的中线AD长为 3,且 10 cos 8 B, 1 cos 4 ADC, 则边AC长为 . 【答案】 4. 【解析】 如图,因为ADC与 ADB互补,所以当 1 cos 4 ADC时, 1 cos 4 ADB, 则 2115 sin1() 44 ADB,又 10 cos 8 B,则 3 6 sin 8 B, 6 所以sinsin()sin()BADBADBBADB 3 611
9、0156 sincoscossin 84844 BADBBADB, 在三角形BAD中,由正弦定理有: 3 sinsin BD BADB , 从 而 2BD , 所 以2CD, 在 三 角 形ADC 中 , 由 余 弦 定 理 有 : 21 942 32()16 4 AC, 所以4AC. 【3-2 】设 ABC的内角,A B C所对边的长分别为, ,a b c,若2 ,3sin5sinbcaAB , 则角C= . 【答案】 2 3 【思想方法】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法: (1) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关 系,从而判断三角形的形状; (2) 利用正、 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形, 得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用ABC这个结论 【温馨提醒】 正弦定理和余弦定理并不是孤立的解题时要根据具体题目合理选用,有时还 需要交替使用 【易错试题常警惕】 (1) 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出 其他的边和角时,有时可能出现一解、两解或无解,所以要进行分类讨论。 (2) 在判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解。 7
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